Definició, expressió analítica i propietats del producte escalar

El producte escalar entre dos vectors $$\vec{u}$$ i $$\vec{v}$$, que es representa com $$\vec{u}\cdot\vec{v}$$, és un nombre real que s'obté multiplicant el mòdul de $$\vec{u}$$ pel mòdul de $$\vec{v}$$ i pel cosinus de l'angle que formen $$\vec{u}$$ i $$\vec{v}$$. $$$\vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}||\vec{v}|\cos(\widehat{uv})$$$

De la definició de producte escalar es dedueix que:

  • Si $$\vec{u}=\vec{0}$$ o $$\vec{v}=\vec{0}$$, llavors $$\vec{u}\cdot\vec{v}= 0$$.
  • Si els vectors $$\vec{u}$$ i $$\vec{v}$$ són perpendiculars entre ells, $$\cos(\widehat{uv})=\cos(90^\circ)=0$$, de manera que $$\vec{u}\cdot\vec{v}=0$$.

Si $$\vec{u}=(0,2)$$, $$\vec{v}=(3,3)$$ i $$\widehat{uv}={45^\circ}$$:

$$\vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}||\vec{v}|\cos(45^\circ)= 2\cdot\sqrt{18}\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{36}=6$$

Si $$|\vec{u}|=3$$, $$|\vec{v}|=2$$ i a més $$\vec{u}\cdot\vec{v}=0$$. Quin angle formen $$\vec{u}$$ i $$\vec{v}$$?

Com que la fórmula del producte escalar és $$\vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}||\vec{v}|\cos(\widehat{uv})$$, substituint les dades que ens dóna l'enunciat, obtenim que: $$$\cos(\widehat{uv})=0 \Rightarrow \widehat{uv}=90^\circ $$$

Aquests dos vectors són perpendiculars.

Expressió analítica del producte escalar:

Donats $$\vec{u}=(u_1,u_2)$$ i $$\vec{v}=(v_1,v_2)$$, el seu producte escalar es pot escriure com: $$$\vec{u}\cdot\vec{v}=u_1 v_1+u_2 v_2$$$

Si $$\vec{u}=(3,1)$$ i $$\vec{v}=(2,-1)$$, llavors: $$$\vec{u}\cdot\vec{v}=3\cdot2+1\cdot(-1)=6-1=5$$$

Propietats del producte escalar

  1. El producte escalar d'un vector per ell mateix és un nombre real major o igual a zero: $$ \vec{u}\cdot\vec{u} \geqslant 0$$. Si $$\vec{u}\cdot\vec{u}=0$$, llavors $$\vec{u}=\vec{0}$$.
  2. El producte escalar és commutatiu: $$\vec{u}\cdot\vec{v}= \vec{v}\cdot\vec{u}$$. Atès que si l'angle que forma $$\vec{u}$$ amb $$\vec{v}$$ és $$\alpha$$, l'angle que forma $$\vec{v}$$ amb $$\vec{u}$$ és $$-\alpha$$, i sabem que $$\cos(-\alpha)=cos(\alpha)$$.
  3. El producte escalar és pseudoassociatiu: $$\alpha(\vec{u}\cdot\vec{v})= (\alpha\vec{u})\cdot\vec{v}=\vec{u}\cdot(\alpha\vec{v})$$ on $$\alpha$$ és un nombre real.
  4. El producte escalar és distributiu respecte la suma de vectors: $$\vec{u}\cdot(\vec{v}+\vec{w})=\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{u}\cdot\vec{w}$$.