Definició, expressió analítica i propietats del producte escalar

El producte escalar entre dos vectors u→ i v→, que es representa com u→⋅v→, és un nombre real que s'obté multiplicant el mòdul de u→ pel mòdul de v→ i pel cosinus de l'angle que formen u→ i v→. u→⋅v→=|u→||v→|cos⁡(uv^)

De la definició de producte escalar es dedueix que:

  • Si u→=0→ o v→=0→, llavors u→⋅v→=0.
  • Si els vectors u→ i v→ són perpendiculars entre ells, cos⁡(uv^)=cos⁡(90∘)=0, de manera que u→⋅v→=0.

Exemple

Si u→=(0,2), v→=(3,3) i uv^=45∘:

u→⋅v→=|u→||v→|cos⁡(45∘)=2⋅1822=36=6

Exemple

Si |u→|=3, |v→|=2 i a més u→⋅v→=0. Quin angle formen u→ i v→?

Com que la fórmula del producte escalar és u→⋅v→=|u→||v→|cos⁡(uv^), substituint les dades que ens dóna l'enunciat, obtenim que: cos⁡(uv^)=0⇒uv^=90∘

Aquests dos vectors són perpendiculars.

Expressió analítica del producte escalar:

Donats u→=(u1,u2) i v→=(v1,v2), el seu producte escalar es pot escriure com: u→⋅v→=u1v1+u2v2

Exemple

Si u→=(3,1) i v→=(2,−1), llavors: u→⋅v→=3⋅2+1⋅(−1)=6−1=5

Propietats del producte escalar

  1. El producte escalar d'un vector per ell mateix és un nombre real major o igual a zero: u→⋅u→⩾0. Si u→⋅u→=0, llavors u→=0→.
  2. El producte escalar és commutatiu: u→⋅v→=v→⋅u→. Atès que si l'angle que forma u→ amb v→ és α, l'angle que forma v→ amb u→ és −α, i sabem que cos⁡(−α)=cos(α).
  3. El producte escalar és pseudoassociatiu: α(u→⋅v→)=(αu→)⋅v→=u→⋅(αv→) on α és un nombre real.
  4. El producte escalar és distributiu respecte la suma de vectors: u→⋅(v→+w→)=u→⋅v→+u→⋅w→.