Funcions polinòmiques: constant, afí i quadràtica

Una funció polinòmica és una funció on l'expressió analítica ve donada per un polinomi: $$f(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_0$$ amb $n\in \mathbb{N}\cup \{0\}$, $a_n,a_{n-1},\dots ,a_1,{,}_{a}0\in \mathbb{R}$ i $a_n\ne 0$ si $n\ne 0$.

Com els polinomis poden ser avaluats en qualsevol nombre real, tenim que el domini de les funcions polinòmiques és tot $\mathbb{R}$, és a dir, $Dom(f)=\mathbb{R}$.

La imatge d'aquest tipus de funcions no sempre és evident:

• Polinomi de grau senar: Aquest és el cas senzill ja que $Im(f)=\mathbb{R}$.
• Polinomi de grau parell: La imatge dependrà dels coeficients del polinomi, que determinaran orientació i extrems relatius. En el cas $n=2$, és a dir funcions quadràtiques, només cal conèixer el vèrtex de la paràbola i tenir en compte la seva orientació.

Funció constant: $f(x)=k$

Es tracta d'una funció polinòmica de grau $0$. La seva gràfica és una recta horitzontal que passa per tots els punts d'ordenada $y=k$ (i per tant $Im(f)=k$).

Funció afí: $f(x)=ax+b$

Un requisit és que sigui $a\ne 0$. Es tracta d'una funció polinòmica de grau $1$. La seva gràfica és una recta que passa pel punt $(0,b)$ i la inclinació depèn del valor de $a$ (també conegut com pendent).

En el cas particular en què $b=0$, es té la coneguda com a funció lineal: $f(x)=ax$. Aquesta funció és equivalent a la funció de proporcionalitat directa, on $a$ és la constant de proporcionalitat.

En el cas particular en què $a=1$, obtenim la funció identitat, és a dir, $f(x)=x$ , la gràfica de la qual és la bisectriu del primer i del tercer quadrant.

Funció quadràtica: $f(x)=a{x}^2+bx+c$

Per obtenir una funció quadràtica és necessari que $a\ne 0$. Es tracta d'una funció polinòmica de segon grau, la gràfica és una paràbola oberta cap amunt si $a>0$, o bé cap avall si $a<0$.

El vèrtex d'aquesta paràbola és ${\displaystyle (-\frac{b}{2a},-\frac{b^2-4ac}{4a})}$.

El punt de tall amb l'eix vertical és $c$. Els punts de tall amb l'eix horitzontal són les solucions de l'equació de segon grau corresponent.