Sistemes lineals de tres equacions amb tres incògnites

Es poden interpretar aquests sistemes com un conjunt de tres plans en l'espai real tridimensional $R^{3}$ . En alguns casos no hi haurà solució, en altres hi haurà infinites (una línia de punts solució) i en altres hi haurà una única solució.

Per resoldre aquest tipus de sistemes s'aplicarà reducció, de manera que cada equació tingui una incògnita menys que l'anterior. Per això, s'utilitzarà el mètode de Gauss.

Exemple

Resoldre:

${\begin{matrix} 3 x + 2 y + z = 1 \\ 5 x + 3 y + 4 z = 2 \\ x + y - z = 1 \end{matrix}$

1) Es posa com a primera equació la que tingui $1$ o $- 1$ com coeficient de $x$ .

Si no n'hi hagués cap es posa com a primera equació la que tingui $y$ o $z$ amb coeficient $1$ o $- 1$ , i es canvia l'ordre de les variables. O també podem dividir la primera equació entre el coeficient de $x$ .

${\begin{matrix} x + y - z = 1 \\ 3 x + 2 y + z = 1 \\ 5 x + 3 y + 4 z = 2 \end{matrix}$

2) S'utilitza el mètode de reducció per les equacions $1$ i $2$ ( $E 1$ i $E 2$ ), amb l'objectiu d'eliminar la variable $x$ de la segona equació:

$E_{2}^{'} = E_{2} - 3 \cdot E_{1}$

$\begin{array}{rcl} 3 x + 2 y + z = 1 \\ + & \underset{―}{- 3 x - 3 y + 3 z = - 3} \\ - y + 4 z = - 2 \end{array}$

3) Es repeteix el mateix procediment amb $E 1$ i $E 3$ , per eliminar la variable $x$ de $E 3$ :

$E_{3}^{'} = E_{3} - 5 \cdot E_{1}$

$\begin{array}{rcl} 5 x + 3 y + 4 z = 2 \\ + & \underset{―}{- 5 x - 5 y + 5 z = - 5} \\ - 2 y + 9 z = - 3 \end{array}$

4) Amb les noves equacions $2$ i $3$ ( $E 2^{'}$ i $E 3^{'}$ ) s'utilitza el mateix procediment per eliminar la variable $y$ de $E 3^{'}$ :

$E 3^{''} = E 3^{'} - 2 \cdot E 2^{'}$

$\begin{array}{rcl} - 2 y + 9 z = - 3 \\ + & \underset{―}{2 y - 8 z = 4} \\ z = 1 \end{array}$

5) Així doncs, el sistema escalonat equivalent al de l'enunciat és:

${\begin{matrix} x + y - z = 1 \\ - y + 4 z = - 2 \\ z = 1 \end{matrix}$

6) Es resol des de la tercera equació fins a la primera:

$E 3 : z = 1$

$E 2 : - y + 4 = - 2 \Rightarrow y = 6$

$E 1 : x + 6 - 1 = 1 \Rightarrow x = - 4$

És a dir, els tres plans tallen en un sol punt $(- 4, 6, 1)$ .

Nota: És habitual l'ús de notació matricial per a la resolució d'aquest tipus de problemes. L'enunciat de l'exemple anterior s'escriuria:

${\begin{matrix} 3 x + 2 y + z = 1 \\ 5 x + 3 y + 4 z = 2 \\ x + y - z = 1 \end{matrix} \Rightarrow (\begin{matrix} 3 & 2 & 1 \\ 5 & 3 & 4 \\ 1 & 1 & - 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix})$

A més, aquesta notació ofereix diversos avantatges per a l'anàlisi del sistema, ja que el càlcul del determinant pot ser útil per tenir una idea de les solucions que s'obtindran.

Si el determinant no és nul, el sistema és compatible determinat, és a dir, té una única solució.
Si el determinant és nul, el sistema pot ser:
- Compatible indeterminat: si té equacions proporcionals i, per tant, infinites solucions.
- Incompatible: No té solucions.