Para calcular el límite de una función hay que tener en cuenta las siguientes propiedades básicas de los límites.
Propiedades de los límites
Sea una función $$f(x)$$, entonces:
- $$\displaystyle\lim_{x \to p}{x}=p \\ $$
- $$\displaystyle\lim_{x \to p}{k\cdot f(x)}=k\cdot\lim_{x \to p}{f(x)}$$ donde $$k$$ es un número cualquiera.
- $$\displaystyle\lim_{x \to p}{(f(x)+g(x))}=\lim_{x \to p}{f(x)}+\lim_{x \to p}{g(x)} \\ $$
- $$\displaystyle\lim_{x \to p}{(f(x)-g(x))}=\lim_{x \to p}{f(x)}-\lim_{x \to p}{g(x)} \\ $$
- $$\displaystyle\lim_{x \to p}{(f(x)\cdot g(x))}=\lim_{x \to p}{f(x)}\cdot \lim_{x \to p}{g(x)} \\ $$
- $$\displaystyle\lim_{x \to p}{\dfrac{f(x)}{g(x)}}=\dfrac{\displaystyle\lim_{x \to p}{f(x)}}{\displaystyle\lim_{x \to p}{g(x)}}$$ si $$g(x)\neq0$$
A continuación podemos ver un ejemplo de cada propiedad:
- $$\displaystyle\lim_{x \to 2}{x}=2 \\ $$
- $$\displaystyle\lim_{x \to 1}{2x^2}=2\cdot\lim_{x \to 1}{x^2}=2\cdot1^2=2 \\ $$
- $$\displaystyle\lim_{x \to 4}{(x^2+3x)}=\lim_{x \to 4}{x^2}+\lim_{x \to 4}{3x}=4^2+3\cdot4=16+12=28 \\ $$
- $$\displaystyle\lim_{x \to 3}{(x-5x)}=\lim_{x \to 3}{x}-\lim_{x \to 3}{5x}=3-5\cdot3=3-15=-12 \\ $$
- $$\displaystyle\lim_{x \to 2}{x^2}=\lim_{x \to 2}{x}\cdot \lim_{x \to 2}{x}=2\cdot2=4 \\ $$
- $$\displaystyle\lim_{x \to 1}{\dfrac{x+1}{x}}=\dfrac{\displaystyle\lim_{x \to 1}{x+1}}{\displaystyle\lim_{x \to 1}{x}}=\dfrac{1+1}{1}=2$$
Operaciones con el infinito
Ya sabemos que algunos límites pueden resultar ser infinito. Éste hecho juntamente con las propiedades anteriores nos pueden llevar a situaciones de tener que sumar, restar, multiplicar y dividir por el valor infinito.
$$$\lim_{x \to +\infty}{(x-x^2)}=\lim_{x \to +\infty}{x}-\lim_{x \to +\infty}{x^2}=\infty-\infty$$$
¿Ésta resta de infinitos vale cero? ¿Qué infinito es mayor, el de $$x$$ o el de $$x$$ cuadrado? A esta situación se le llama indeterminación.
Indeterminaciones tenemos de muchos tipos:
$$$\infty-\infty,\dfrac{\infty}{\infty},\dfrac{0}{\infty},1^\infty,\ldots$$$
Éstas situaciones las puedes aprender a resolver en el tema de límites, cálculo de límites, en el apartado de intedeterminaciones.
Ahora ya podemos centrarnos en el cálculo de límites.
Para realizar un límite de una función $$f(x)$$ en $$x=p$$ simplemente tenemos que sustituir $$x$$ por $$p$$ en la expresión del límite. Al hacer este paso puede ser que obtengamos un valor concreto (un número), un valor infinito o una indeterminación. En el último caso tendremos que modificar la expresión del límite a otra expresión equivalente para conseguir evitar la indeterminación. Este paso está explicado en el siguiente tema, en el apartado de indeterminaciones.
En el caso de funciones definidas a trozos o funciones no continuas tendremos que hacer límites laterales en función del punto a hacer el límite. Escogeremos la expresión adecuada de la función para poner en el límite en función de si nos acercamos por la derecha o por la izquierda. Tenemos un ejemplo a continuación.
Consideramos la función $$f(x)=\left\{\begin{array}{c} x+1 \ \text{ si } x < 1 \\ x-1 \ \text{ si } x\geq1 \end{array} \right.$$ y buscaremos los límites laterales en $$x=1$$.
$$$L^-=\lim_{x \to 1^-}{f(x)}=\lim_{x \to 1^-}{x+1}=1+1=2$$$
$$$L^+=\lim_{x \to 1^+}{f(x)}=\lim_{x \to 1^+}{x-1}=1-1=0$$$
Cuando hacemos un límite de una función a infinito se tiene que proceder de la misma manera que como si hiciéramos el límite en un punto, pero sustituyendo el valor del punto concreto por infinito.
Tendremos que distinguir los valores de "más infinito" o el de "menos infinito" a la hora de hacer el límite y de obtener el resultado. Cuando hagamos el límite puede ser que obtengamos un valor finito, un valor infinito o una indeterminación.
Tendremos también que vigilar con los signos a la hora de hacer el límite.
Si realizamos el límite de la función cúbica cuando $$x$$ tiende a menos infinito:
$$$\lim_{x \to -\infty}{x^3}=\lim_{x \to -\infty}{x}\cdot \lim_{x \to -\infty}{x}\cdot\lim_{x \to -\infty}{x}=(-\infty)\cdot(-\infty)\cdot(-\infty)=-\infty$$$
mientras que si realizamos el límite de la función cuadrática:
$$$\lim_{x \to -\infty}{x^2}=\lim_{x \to -\infty}{x}\cdot \lim_{x \to -\infty}{x}=(-\infty)\cdot(-\infty)=+\infty$$$