Concepto de matriz
Siempre que colocamos un elemento en filas y columnas hacemos uso de una estructura matricial.
Por ejemplo, cualquier espectáculo en el que las entradas estén numeradas hace uso de este tipo de estructuras. Lo que se hace es dividir la Platea en filas y columnas. Si en nuestra entrada pone Fila $$23$$, asiento $$12$$ nos está indicando que la butaca está en la fila $$23$$ y columna $$12$$.
Cualquier tabla de las que utilizamos en los editores de texto no deja de ser una matriz, ya que está organizada por filas y columnas.
Por ejemplo, la siguiente tabla tiene $$3$$ filas y $$4$$ columnas. El número que ocupa la fila $$2$$ y columna $$4$$ es el cero:
| $$2$$ | $$1$$ | $$5$$ | $$8$$ |
| $$3$$ | $$2$$ | $$2$$ | $$0$$ |
| $$2$$ | $$1$$ | $$6$$ | $$4$$ |
Para que una tabla sea una matriz representativa de algún objeto matemático basta con que en cada celda pongamos algún valor numérico, le quitemos la cuadrícula y la encerremos entre dos grandes paréntesis:
$$$ \left( \begin{array}{cccc} 2 & 1 & 5 & 8 \\ 3 & 2 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 6 & 4 \end{array} \right)$$$
Y ya tenemos una matriz de las que se utilizan habitualmente en matemáticas.
Tipos de matrices
Una matriz en la que el número de filas es igual al número de columnas se dice que es una matriz cuadrada. Lo es, por ejemplo, la matriz:
$$$ \left( \begin{array}{ccc} 3 & 1 & 4 \\ 4 & 0 & -5 \\ 12 & 23 & 8 \end{array} \right)$$$
y no es cuadrada una matriz como:
$$$ \left( \begin{array}{ccc} 3 & 2 & -1 \\ 1 & 2 & 0 \end{array} \right)$$$
La primera tiene tres filas y tres columnas y se dice que es una matriz $$3\times3$$. Se lee “tres por tres”. Para referirnos a la segunda, que tiene dos filas y tres columnas, hablamos de una matriz $$2\times3$$, matriz "dos por tres".
De manera que, en general, cuando se habla de una matriz $$m \times n$$ se está haciendo referencia a una matriz que tiene $$m$$ filas y $$n$$ columnas. Esta forma de referirse a las matrices no es más que un convenio y podría variar de un autor a otro.
Según esto una matriz $$m \times n$$ será cuadrada cuando $$m = n$$.
Notación
Las matrices suelen denotarse con letras mayúsculas:
$$$ A= \left( \begin{array}{ccc} 3 & 1 & 4 \\ 4 & 0 & -5 \\ 12 & 2 & 8 \end{array} \right)$$$
$$$ B= \left( \begin{array}{ccc} 3 & 2 & -1 \\ 1 & 2 & 0 \end{array} \right)$$$
También se utilizan letras para hacer referencia a los elementos que forman la matriz.
$$$\left( \begin{array}{ccc} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{array} \right)$$$
Se comprende que cuando se trabaja con matrices muy grandes, por ejemplo de $$100\times200$$, es decir con $$100$$ filas y $$200$$ columnas (o más), la utilización de las letras del alfabeto no es práctica, por lo que se recurre a una notación del tipo $$a_{ij}$$ en la que $$i$$ representa la fila y $$j$$ representa la columna en la que se encuentra el elemento en cuestión.
Por ejemplo, en la matriz:
$$$\left( \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 2 & -1 & 0 \\ 3 & 1 & 8 \end{array} \right)$$$
el elemento $$a_{22}=1$$ y el elemento $$a_{13}=0$$.
Comprobar el valor de los elementos siguientes en la matriz:
$$$a_{31}=3, \ a_{25}=4, \ a_{27}=-1, \ a_{45}=8$$$
$$$\left( \begin{array}{ccccccc} 2 & 4 & 1 & 8 & 5 & 3 & 8 \\ 3 & 6 & 8 & 2 & 4 & 0 & -1 \\ 3 & 5 & 7 & 1 & -8 & 0 & 3 \\ 2 & 5 & 7 & 3 & 8 & 1 & 8 \\ \end{array} \right)$$$
Se define la matriz cero como aquella en la que todos sus elementos son $$0$$, independientemente del número de filas y columnas que tenga.
Se dice que dos matrices son iguales cuando los son todos los elementos que la forman.
$$$\left( \begin{array}{ccccc} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right)$$$
es una matriz nula o matriz cero.
$$$\left( \begin{array}{cc} 1 & 3 \\ 2 & 6 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} 1 & 3 \\ 2 & 6 \end{array} \right)$$$
son matrices iguales.