Ecuaciones reducidas y canónicas de las cónicas

Aprenderemos cómo encontrar una referencia cartesiana rectangular respecto la cual, la ecuación de una cónica analítica sea lo más sencilla posible.

Este problema lo vamos a resolver mediante sucesivas reducciones, o sea, cambios de coordenadas escogidos de forma que, después de cada uno, la ecuación de la cónica sea el resultado de simplificar algún aspecto de la ecuación precedente.

En todo caso, el objetivo es ver que existe un cambio rectangular de coordenadas: $$\{\begin{array}{l}x=a{x}^{\prime }+b{y}^{\prime }+e\\ y=c{x}^{\prime }+d{y}^{\prime }+f\end{array}$$ que transforme el polinomio $q(x,y)$ a un polinomio de la forma $$q(a{x}^{\prime }+b{y}^{\prime }+e,c{x}^{\prime }+d{y}^{\prime }+f)$$ que tenga una de las siguientes formas:

1. ${\lambda }_1{x}^{\prime 2}+{\lambda }_2{y}^{\prime 2}+\mu$
2. ${\lambda }_1{x}^{\prime 2}+2e{y}^{\prime }$
3. ${\lambda }_1{x}^{\prime 2}+\mu$

donde${\lambda }_1,{\lambda }_2$ y $e$ son números reales distintos del cero y $\mu$ un número real arbitrario. Las expresiones anteriores las vamos a llamar formas reducidas.

Por varias razones (que vamos a ver más adelante), les diremos que son del tipo centrado, parabólico y de rectas paralelas.

La primera reducción

El primer paso será calcular su matriz asociada $A^{\prime }$, dada una cónica de ecuación $q(x,y)=0$. Por tanto, calcularemos los valores propios de esta matriz, calculando el polinomio característico y después el determinante $det(A^{\prime }-\lambda I)$.

Una vez encontrados los valores propios, existe un cambio de coordenadas que nos transforma la ecuación general de una cónica a una ecuación de la forma siguiente: $${\lambda }_1{x}^2+{\lambda }_2{y}^2+2dx+2ey+f=0$$ Obsérvese, que si en la ecuación general de la cónica no existe el término $xy$ no será necesaria esta reducción dado que la matriz $A^{\prime }$ ya será diagonal, y lo que busca dicha reducción es diagonalizar la matriz principal de la cónica.

A continuación, vamos a dar un ejemplo de esta reducción.

La segunda reducción

Una vez realizada la primera reducción, obtenemos que la nueva ecuación de la cónica es de la forma $${\lambda }_1{x}^2+{\lambda }_2{y}^2+2dx+2ey+f=0$$ En relación a esta ecuación, hay dos situaciones que debemos considerar: ${\lambda }_1{\lambda }_2=0$ y${\lambda }_1{\lambda }_2\ne 0$.

En el primer caso, hay un valor propio nulo y otro que no (recordemos que hemos supuesto que la matriz $A$ no es la matriz idénticamente $0$). Intercambiando los ejes si hiciera falta, podemos suponer sin pérdida de generalidad que ${\lambda }_1\ne 0$ y ${\lambda }_2=0$.

Además, podemos suponer que el valor propio es positivo. En este punto, podemos diferenciar dos nuevos casos, si $e$ es cero o es distinto de cero.

En el primer caso, la herramienta básica para seguir es la completación de cuadrados, $${\displaystyle \lambda x^2+2dx=\lambda x^{\prime 2}+k\text{ siendo }x=x^{\prime }-\frac{d}{\lambda }\text{ y }k=-\frac{d^2}{\lambda }}$$

En el segundo caso, hacemos también una completación de cuadrados para la $x$ para obtener una ecuación de la forma $$\lambda x^2+2ey+f=0$$ O sea, obtenemos una ecuación sin término lineal $x$.

Si estamos en el segundo caso, o sea ${\lambda }_1{\lambda }_2\ne 0$, entonces dos completaciones de cuadrado y el correspondiente cambio de coordenadas, nos permiten suponer que $d=y=0$, con lo que obtenemos una ecuación reducida del tipo centrado: $${\lambda }_1{x}^{\prime 2}+{\lambda }_2{y}^{\prime 2}+\mu =0$$ En resumen, dependiendo de si alguno de los dos valores propios son nulos, existen distintos cambios de coordenadas para obtener una de las siguientes formas reducidas:

1. ${\lambda }_1{x}^{\prime 2}+{\lambda }_2{y}^{\prime 2}+\mu$
2. ${\lambda }_1{x}^{\prime 2}+2e{y}^{\prime }$
3. ${\lambda }_1{x}^{\prime 2}+\mu$

Ecuaciones canónicas

A continuación, vamos a hacer el último paso para poder clasificar una cónica afín.

Sea ${\lambda }_1{x}^{\prime 2}+{\lambda }_2{y}^{\prime 2}+\mu =0$ una ecuación reducida del tipo centrado, y vamos a discutir los distintos casos posibles.

Si $\mu \ne 0$, escribimos $${\displaystyle a=\sqrt{\frac{|\mu |}{{\lambda }_1}}\text{ y }b=\sqrt{\frac{|\mu |}{|{\lambda }_2|}}}$$ entonces obtenemos la equivalencia a una de las siguientes tres formas: $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=-1,\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$$ La primera y la tercera son las ecuaciones canónicas de una elipse y de una hipérbole, respectivamente, con semiejes $a$ y $b$.

De la segunda, que no tiene puntos reales, le vamos a llamar elipse imaginaria.

Si por el contrario $\mu =0$ entonces escribiendo $${\displaystyle a=\sqrt{\frac{1}{{\lambda }_1}}\text{ y }b=\sqrt{\frac{1}{|{\lambda }_2|}}}$$ obtenemos que la ecuación adopta una de las siguientes formas: $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=0,\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=0$$ La segunda nos da dos rectas reales y la primera dos rectas imaginarias conjugadas.

Si consideramos la ecuación reducida del tipo parabólico, ${\lambda }_1{x}^{\prime 2}+2e{y}^{\prime }=0$, podemos suponer que tenemos la ecuación $x^2=2py$, donde ${\displaystyle p=\frac{e}{{\lambda }_1}}$.

Además, podemos suponer que $p>0$ (si no fuera así, cambiaríamos el sentido del eje $OY$).

Por lo tanto, tenemos que la ecuación se trata de una parábola con parámetro focal $p$ y con el eje coincidiendo con el eje $OY$.

Finalmente, si consideramos la ecuación reducida del tipo ${\lambda }_1{x}^{\prime 2}+\mu =0$, es equivalente - escribiendo $${\displaystyle k=\sqrt{\frac{|\mu |}{{\lambda }_1}}}$$ cuando $\mu \ne 0$- a una de las tres ecuaciones siguientes: $$x^2=k^2,x^2=0,x^2=-k^2(k>0)$$

La primera nos da dos rectas paralelas ($x=k$ y $x=-k$, siendo $k$ la semidistancia entre las dos rectas) y la segunda dos rectas coincidentes. De la tercera, diremos que nos da dos rectas paralelas conjugadas.

En resumen, este procedimiento nos da un algoritmo eficaz para pasar de una ecuación general de una cónica a una ecuación canónica. Para conseguirlo, usamos los siguientes pasos:

• Dada la ecuación de la cónica, calculamos su matriz principal $A^{\prime }$ y calculamos sus valores propios para diagonalizar la matriz $A^{\prime }$. Este paso se le llama primera reducción. Al finalizar este paso, obtenemos que la ecuación de la cónica sea de la forma: ${\lambda }_1{x}^2+{\lambda }_2{y}^2+2dx+2ey+f=0$.

• Una vez hecha la primera reducción, se mira si alguno de los valores propios es cero. A continuación, mediante las completaciones de cuadrados, podemos transformar la ecuación dada por la primera reducción a una de las de la siguiente forma:

  • ${\lambda }_1{x}^{\prime 2}+{\lambda }_2{y}^{\prime 2}+\mu$
  • ${\lambda }_1{x}^{\prime 2}+2e{y}^{\prime }$
  • ${\lambda }_1{x}^{\prime 2}+\mu$ Este paso se le llama segunda reducción.
• Finalmente, dependiendo de la forma reducida que tengamos, mediante unos nuevos cambios de coordenadas se obtienen las distintas ecuaciones canónicas. Una vez obtenida la ecuación canónica, ya hemos clasificado la cónica.

Ahora proponemos unos ejemplos que nos permitan ver todos los pasos.