Método de sustitución

La siguiente expresión es una ecuación lineal (no tiene exponentes) con dos incógnitas, $x$ e $y$ : $x + y = 1$ .

Para encontrar la solución se necesita que esté asociada a otra ecuación que no sea equivalente, de modo que se obtenga un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, como por ejemplo:

$\begin{matrix} x + y = 1 \\ 2 x - y = 5 \end{matrix}}$

Cuando una ecuación está asociada a otra que es su equivalente, como en el siguiente caso:

$\begin{matrix} x + y = 1 \\ 2 x + 2 y = 2 \end{matrix}}$

se tiene un sistema indeterminado, que no trataremos ahora.

Para resolver sistemas de ecuaciones lineales existen tres métodos diferentes: el de sustitución, el de igualación y el de reducción. Aquí va el primero.

El método de sustitución consiste en despejar la $x$ en una de las ecuaciones, básicamente en la que resulte más fácil, y sustituir la expresión resultante en la otra.

Ejemplo

En el siguiente caso, es fácil despejar $x$ en la primera ecuación, puesto que no tiene ningún coeficiente:

$\begin{matrix} x + y = 2 \\ - 2 x - 3 y = 5 \end{matrix}}$

De modo que:

$\begin{matrix} x = 2 - y \\ - 2 x - 3 y = 5 \end{matrix}}$

Ahora se puede sustituir la $x$ de la segunda ecuación por la expresión $x = 2 - y$ . Y se obtiene:

$\begin{matrix} x = 2 - y \\ - 2 (2 - y) - 3 y = 5 \end{matrix}}$

Con esto se consigue que la segunda ecuación se convierta en una ecuación lineal con una incógnita, que se resuelve despejando simplemente la $y$ .

$- 2 (2 - y) - 3 y = 5 \Rightarrow - 4 + 2 y - 3 y = 5 \Rightarrow - y = 5 + 4 \Rightarrow - y = 9 \Rightarrow y = - 9$

Una vez hallado el valor de $y$ , lo único que queda por hacer es sustituir en la primera ecuación para saber cuál es el valor de $x$ :

$x = 2 - y \Rightarrow x = 2 - (- 9) \Rightarrow x = 2 + 9 = 11$

Los dos valores obtenidos, $x = 11, y = - 9$ , son el resultado del sistema.

Para ver si el resultado es correcto se pueden sustituir los valores encontrados para ambas incógnitas y comprobar si se cumplen las igualdades de ambas ecuaciones:

$x + y = 2 \Rightarrow 11 - 9 = 2 \Rightarrow 2 = 2$

En la primera ecuación se cumple. Se comprueba en la segunda:

$- 2 x - 3 y = 5 \Rightarrow - 2 \cdot 11 - 3 \cdot (- 9) = 5 \Rightarrow - 22 + 27 = 5 \Rightarrow 5 = 5$

En la segunda ecuación también se cumple la igualdad, por lo que la solución es correcta.

Ejemplo

$\begin{matrix} 2 x - 4 y = 8 \\ - 3 x + y = 3 \end{matrix}}$

Se pueden seguir los mismos pasos que en el ejemplo anterior, pero antes hay que ver si las ecuaciones se pueden simplificar.

En el caso de la primera ecuación $2 x - 4 y = 8$ , todos los términos son divisibles por $2$ , de modo que toda la ecuación se puede dividir por dicha cifra para simplificarla. Al dividir entre $2$ queda:

$x - 2 y = 4$

Esta ecuación es totalmente equivalente a la otra, es decir, tiene la misma solución, y el despeje de $x$ es casi inmediato, puesto que ha dejado de tener coeficiente.

Se sustituye esta nueva ecuación equivalente en lugar de la inicial y ya se puede empezar a buscar la solución al sistema:

$\begin{matrix} x - 2 y = 4 \\ - 3 x + y = 3 \end{matrix}}$

Primero se despeja $x$ en la primera ecuación:

$\begin{matrix} x = 4 + 2 y \\ - 3 x + y = 3 \end{matrix}}$

Se sustituye la expresión obtenida en la segunda ecuación y se halla $y$ :

$- 3 (4 + 2 y) + y = 3 \Rightarrow - 12 - 6 y + y = 3 \Rightarrow - 5 y = 3 + 12 \Rightarrow$

$\Rightarrow - 5 y = 15 \Rightarrow y = \frac{15}{- 5} = - 3$

Se sustituye el valor de $y$ en la primera ecuación para saber cuál es el de $x$ :

$x = 4 + 2 (- 3) \Rightarrow x = 4 - 6 = - 2$

La solución al sistema es $x = - 2, y = - 3$ .

Se comprueba que todo es correcto sustituyendo en ambas ecuaciones los valores obtenidos:

$x - 2 y = 4 \Rightarrow - 2 - 2 (- 3) = 4 \Rightarrow - 2 + 6 = 4 \Rightarrow 4 = 4$

$- 3 x + y = 3 \Rightarrow - 3 (- 2) + (- 3) = 3 \Rightarrow 6 - 3 = 3 \Rightarrow 3 = 3$

En ambas ecuaciones se cumplen las igualdades, así que el resultado es válido.

Ejemplo

$\begin{matrix} x + 1 - y = - 2 \\ y + 1 = x - 4 \end{matrix}}$

Lo primer que hay que hacer es agrupar términos similares, dejando las incógnitas en el primer miembro y los términos independientes en el segundo:

$\begin{matrix} x - y = - 2 - 1 \\ - x + y = - 4 - 1 \end{matrix}} \Rightarrow \begin{matrix} x - y = - 3 \\ - x + y = - 5 \end{matrix}}$

Si se despeja $x$ en la primera ecuación se obtiene que $x = y - 3$ . Se sustituye dicha expresión en la segunda ecuación:

$- (y - 3) + y = - 5 \Rightarrow - y + 3 + y = - 5 \Rightarrow - y + y = - 5 - 3 \Rightarrow 0 = - 8$

El sistema no parece tener solución. Y de hecho, no la tiene.

Cuando esto ocurre se dice que es un sistema incompatible: las incógnitas se anulan y el sistema carece de solución. En cambio, cuando un sistema sí tiene solución se llama sistema compatible.

En definitiva, los pasos que hay que seguir para resolver un sistema por el método de sustitución son:

Despejar una de las incógnitas de una ecuación y sustituir la expresión resultante en la otra, que se transforma en una ecuación lineal con una incógnita.
Despejar la incógnita de dicha ecuación lineal y sustituir su valor en la ecuación inicial para hallar el valor de la otra incógnita.

También hay que tener en cuenta que para plantear un sistema de ecuaciones, sobre todo si se pretende que los resultados sean valores enteros, lo mejor es partir de valores conocidos para las incógnitas y plantear ecuaciones en las que las igualdades sean ciertas.

Ejemplo

Si $x = 1$ , $y = - 1$ , las siguientes ecuaciones son todas posibles, puesto que se cumple la igualdad:

$x + y = 0$

$2 x - 2 y = 4$

$x + 3 (2 y - 1) = - 8$

De modo que un posible sistema sería tomar las dos primeras:

$\begin{matrix} x + y = 0 \\ 2 x - 2 y = 4 \end{matrix}}$