Para empezar, definimos los ángulos que están dentro de los políedros.
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Ángulo diedro: Es la proporción de espacio limitada por dos semiplanos que se llaman caras.
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Ángulo poliedro: Es la proporción de espacio limitada por tres o más planos que concurren en un punto llamado vértice. Un ángulo poliedro debe medir menos de $$360^\circ$$.
Una vez definidos los dos ángulos que nos podemos encontrar en un políedro, a continuación daremos la definición de políedro.
Un políedro es la región del espacio delimitada por polígonos, o lo que es lo mismo, un cuerpo geométrico cuyas caras son planas que encierran un volumen finito.
Los elementos notables de un poliedro son los siguientes:
- Caras: Cada uno de los polígonos que limitan el poliedro
- Aristas: Los lados de las caras del poliedro. Dos caras tienen una arista en común.
- Vértices: Los vértices de cada una de las caras del poliedro. Tres caras coinciden en un mismo vértice.
- Ángulos diedros: Ángulos formados por cada dos caras que tienen una arista en común.
- Ángulos poliédricos: Los ángulos formados por tres o más caras del poliedro con un vértice común.
- Diagonales: Segmentos que unen dos vértices no pertenecientes a la misma cara.
Para finalizar, en todos los poliedros se cumple la llamada Relación de Euler: $$$c + v = a + 2$$$
siendo $$c$$ el número de caras del poliedro, $$v$$ el número de vértices del poliedro y $$a$$ el número de aristas.
Clasificación y familias de poliedros
Los poliedros pueden ser clasificados en muchos grupos según la familia dónde provienen o de las características que los diferencian.
Según sus características, se distinguen:
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En un poliedro convexo una recta sólo pueda cortar a su superficie en dos puntos.
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En un poliedro cóncavo una recta puede cortar su superficie en más de dos puntos, por lo que posee algún ángulo diedro entrante.
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En un poliedro de caras regulares todas las caras del poliedro son polígonos regulares.
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En un poliedro de caras uniformes todas las caras son iguales.
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Se dice poliedro de aristas uniformes cuando en todas sus aristas se reúnen el mismo par de caras.
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Se dice poliedro de vértices uniforme cuando en todos los vértices del poliedro convergen el mismo número de caras y en el mismo orden.
Estos grupos no son exclusivos, es decir, un poliedro puede estar incluido en más de uno de ellos.
Además de las clasificaciones anteriores, también podemos clasificar los poliedros mediante sus familias:
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Poliedros regulares: Son los llamados sólidos platónicos.
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Poliedros irregulares
- Los sólidos arquimedianos son poliedros convexos de caras regulares y vértices uniformes pero de caras no uniformes.
- Los prismas y los antiprismas son los únicos poliedros convexos y uniformes restantes. Todos los prismas se construyen con dos caras paralelas llamadas directrices que le dan el nombre al prisma y una serie de paralelogramos, tantos como lados tenga la cara directriz.
- Los sólidos de Johnson son los poliedros convexos, de caras regulares restantes, sólo uno de ellos es uniforme.
- Las bipirámides y trapezoedros son poliedros de caras uniformes pero no son de caras regulares, ni de vértices o aristas uniformes.
- Los sólidos de Catalan son poliedros de caras no regulares y no todas sus caras son uniformes.
- Se llaman deltaedros a los cuerpos que sólo están formados por triángulos equiláteros, no constituyen un grupo excluyente de sólidos.
