Una proporción no es más que una igualdad entre dos o más fracciones:
$$$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$$$
donde $$a$$ y $$d$$ se denominan extremos y $$b$$ y $$c$$, medios.
Proporción directa
Diremos que la proporción es directa si relacionan magnitudes en las que al aumentar una también lo hace la otra y viceversa.
En este caso la regla de tres se aplicará de la siguiente manera:
Si un tren tarda $$3$$ horas en recorrer $$400$$ kilómetros, ¿cuánto tardará en recorrer el doble?
Primero observamos que es un caso de proporción directa ya que a más horas mas kilómetros recorrerá el tren. La respuesta se puede deducir mentalmente, puesto que si el tren tiene que recorrer el doble de distancia también tardará el doble de tiempo, con lo que necesitará $$6$$h para recorrer los $$800$$km. La deducción es correcta, pero veamos como se resuelve aplicando la regla de tres para proporciones directas.
Tenemos la siguiente relación:
$$$\begin{eqnarray} 3 \ \mbox{h} & \rightarrow & 400 \ \mbox{km}\\ x \ \mbox{h} & \rightarrow & 800 \ \mbox{km} \end{eqnarray}$$$
Es decir, si en $$3$$ h se recorren $$400$$km, en $$x$$ h se recorrerán $$800$$.
Observamos que la relación también puede expresarse siguiendo el modelo de igualdad entre fracciones usado para describir el concepto de proporción:
$$$\dfrac{3}{x}=\dfrac{400}{800}$$$
Donde las dos magnitudes del ejercicio quedan en fracciones distintas: el tiempo a un lado de la igualdad y la distancia al otro.
Ahora sólo hay que despejar $$x$$ para hallar la solución:
$$$x=\dfrac{800\cdot3}{400}=\dfrac{2400}{400}=6$$$
Por tanto el tren tardará $$6$$ horas en recorrer $$800$$km.
Si el kilo de cerezas va a $$4,5$$ €, ¿cuánto costará comprar medio kilo?
Tenemos una proporcionalidad directa puesto que a menos kilos que compremos más barato nos costará.
Tenemos la relación de proporcionalidad:
$$$\begin{eqnarray} 1 \ \mbox{kg} & \rightarrow & 4,5 \ \mbox{€}\\ \frac{1}{2} \ \mbox{kg} & \rightarrow & x \ \mbox{€} \end{eqnarray}$$$
Aplicando la regla de tres tenemos:
$$$x=\dfrac{\frac{1}{2}\cdot4,5}{1}=\dfrac{1}{2}\cdot4,5=2,25$$$ €
Es decir, medio kilo de cerezas costarán la mitad que un kilo.
Proporción inversa
Diremos que la proporción es inversa si implica una relación de magnitudes en que al aumentar una la otra disminuye y viceversa. En este caso la regla de tres se aplicará de la siguiente manera:
Si $$2$$ agricultores tardan $$10$$ días en arar un campo, ¿cuánto tardarán $$5$$ agricultores en realizar el mismo trabajo?
Se trata claramente de un ejemplo de proporción inversa, puesto que a más agricultores trabajando menos tiempo se tardará en arar el mismo campo.
Para resolverlo se aplica la regla de tres como se ha enseñado:
$$$\begin{eqnarray} 2 \ \mbox{agricultores} & \rightarrow & 10 \ \mbox{días}\\ 5 \ \mbox{agricultores} & \rightarrow & x \ \mbox{días} \end{eqnarray}$$$
Y se resuelve:
$$$x=\dfrac{2\cdot10}{5}=\dfrac{20}{5}=4$$$ días
Es decir, mientras que dos agricultores tardan $$10$$ días, con la ayuda de otros $$3$$ compañeros consiguen hacer el mismo trabajo en tan solo $$4$$ días.