Suma
En el conjunto de las funciones reales de variable real podemos definir diversas operaciones.
La función suma $$f + g$$ es una función que asigna a cada número real $$x$$ la suma de las imágenes por la función $$f$$ y por la función $$g$$: $$$(f+g)(x)=f(x)+g(x)$$$
La función suma está definida cuando $$x$$ pertenece simultáneamente al dominio de $$f$$ y de $$g$$: $$$Dom(f+g)=Dom(f)\cap Dom(g)$$$
Dadas las funciones $$\displaystyle f(x)=\frac{1}{x}$$ y $$g(x)=x-2$$ calcula $$(f + g) (x)$$.
$$$(f+g)(x)=f(x)+g(x)=\displaystyle \frac{1}{x}+x-2=\frac{x^2-2x+1}{x}$$$ Por tanto, $$$\displaystyle (f+g)(x)=\frac{x^2-2x+1}{x}$$$
Diferencia
La función diferencia $$f-g$$ es una función que asigna a cada número real $$x$$ la diferencia de las imágenes por la función $$f$$ y por la función $$g$$. $$$(f-g)(x)=f(x)-g(x)$$$
La función diferencia está definida cuando $$x$$ pertenece simultáneamente al dominio de $$f$$ y de $$g$$: $$$Dom(f-g)=Dom(f)\cup Dom(g)$$$
Dadas las funciones $$f(x)=\displaystyle \frac{1}{x}$$ y $$g(x)=x-2$$ calcula $$(f - g) (x)$$.
$$$(f-g)(x)=f(x)-g(x)=\displaystyle \frac{1}{x}-(x-2)=\frac{-x^2+2x+1}{x}$$$ Por tanto, $$$(f-g)(x)=\displaystyle \frac{-x^2+2x+1}{x}$$$
Producto
La función producto $$f \cdot g$$ es una función que asigna a cada número real $$x$$ el producto de las imágenes por la función $$f$$ y por la función $$g$$. $$$(f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x)$$$
La función producto está definida cuando $$x$$ pertenece simultáneamente al dominio de $$f$$ y de $$g$$: $$$Dom(f\cdot g)=Dom(f) \cap Dom(g)$$$
Dadas las funciones $$\displaystyle f(x)=\frac{1}{x}$$ y $$g(x)=x-2$$ calcula $$(f \cdot g) (x)$$.
$$$(f \cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x)=\frac{1}{x}\cdot (x-2)=\frac{x-2}{x}$$$ Por tanto, $$$\displaystyle (f \cdot g)(x)=\frac{x-2}{x}$$$
División
La función cociente $$\displaystyle \frac{f}{g}$$ es una función que asigna a cada número real $$x$$ el cociente de las imágenes por la función $$f$$ y por la función $$g$$. $$$\displaystyle \Big(\frac{f}{g}\Big)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$$$
La función cociente está definida cuando $$x$$ pertenece simultáneamente al dominio de $$f$$ y de $$g$$, y además se cumple que $$g(x)\neq 0$$. Es decir: $$$\displaystyle Dom\Big(\frac{f}{g}\Big)=Dom(f) \cap Dom(g)-\{x \in \mathbb{R} \mid g(x)=0\}$$$
Dadas las funciones $$f(x)=x^2+3$$ y $$g(x)=x^2+1$$ calcula $$\displaystyle \Big(\frac{f}{g}(x)\Big)$$:
$$$\displaystyle \Big(\frac{f}{g}\Big)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{x^2+3}{x^2+1}$$$ Por tanto, $$$\displaystyle \Big(\frac{f}{g}\Big)(x)=\frac{x^2+3}{x^2+1}$$$