Concepte de matriu i tipus de matrius

Concepte de matriu

Sempre que posem un element en files i columnes fem ús d'una estructura matricial.

Per exemple, qualsevol espectacle en què les entrades estiguin numerades fa ús d'aquest tipus d'estructures. El que es fa és dividir la Platea en files i columnes. Si en la nostra entrada posa Fila $23$ , seient $12$ ens està indicant que la butaca és a la fila $23$ i columna $12$ .

Qualsevol taula de les que utilitzem en els editors de text no deixa de ser una matriu, ja que està organitzada per files i columnes.

Exemple

Per exemple, la taula següent té $3$ files i $4$ columnes. El número que ocupa la fila $2$ i columna $4$ és el zero:

$2$	$1$	$5$	$8$
$3$	$2$	$2$	$0$
$2$	$1$	$6$	$4$

Perquè una taula sigui una matriu representativa d'algun objecte matemàtic n'hi ha prou que a cada cel·la posem algun valor numèric, li traiem la quadrícula i la tanquem entre dos grans parèntesis:

$(\begin{array}{cccc} 2 & 1 & 5 & 8 \\ 3 & 2 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 6 & 4 \end{array})$

I ja tenim una matriu de les que s'utilitzen habitualment en matemàtiques.

Tipus de matrius

Una matriu en la qual el nombre de files és igual al nombre de columnes es diu que és una matriu quadrada. Ho és, per exemple, la matriu:

$(\begin{array}{ccc} 3 & 1 & 4 \\ 4 & 0 & - 5 \\ 12 & 23 & 8 \end{array})$

i una matriu com:

$(\begin{array}{ccc} 3 & 2 & - 1 \\ 1 & 2 & 0 \end{array})$

no és quadrada.

La primera té tres files i tres columnes i es diu que és una matriu $3 \times 3$ . Es llegeix "tres per tres". Per referir-nos a la segona, que té dues files i tres columnes, parlem d'una matriu $2 \times 3$ , matriu "dos per tres".

De manera que, en general, quan es parla d'una matriu $m \times n$ s'està fent referència a una matriu que té $m$ files i $n$ columnes. Aquesta forma de referir-se a les matrius no és més que un conveni i podria variar d'un autor a un altre.

Segons això una matriu $m \times n$ serà quadrada quan $m = n$ .

Notació

Les matrius se solen denotar amb lletres majúscules:

$A = (\begin{array}{ccc} 3 & 1 & 4 \\ 4 & 0 & - 5 \\ 12 & 2 & 8 \end{array})$

$B = (\begin{array}{ccc} 3 & 2 & - 1 \\ 1 & 2 & 0 \end{array})$

També s'utilitzen lletres, però en aquest cas minúscules, per fer referència als elements que formen la matriu:

$(\begin{array}{ccc} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{array})$

S'entén que quan es treballa amb matrius molt grans, per exemple de $100 \times 200$ , és a dir amb $100$ files i $200$ columnes (o més), la utilització de les lletres de l'alfabet no és pràctica, de manera que es recorre a una notació del tipus $a_{i j}$ en la qual $i$ representa la fila i $j$ representa la columna en què es troba l'element en qüestió.

Exemple

Per exemple, en la matriu:

$(\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{array}) = (\begin{array}{ccc} 2 & - 1 & 0 \\ 3 & 1 & 8 \end{array})$

l'element $a_{22} = 1$ i l'element $a_{13} = 0$ .

Exemple

Comprovar el valor dels elements següents en la matriu:

$a_{31} = 3, a_{25} = 4, a_{27} = - 1, a_{45} = 8$

$(\begin{array}{ccccccc} 2 & 4 & 1 & 8 & 5 & 3 & 8 \\ 3 & 6 & 8 & 2 & 4 & 0 & - 1 \\ 3 & 5 & 7 & 1 & - 8 & 0 & 3 \\ 2 & 5 & 7 & 3 & 8 & 1 & 8 \end{array})$

Es defineix la matriu zero com aquella en què tots els seus elements són $0$ , independentment del nombre de files i columnes que tingui.

Es diu que dues matrius són iguals quan ho són tots els elements que la formen.

Exemple

$(\begin{array}{ccccc} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array})$

és una matriu nul·la o matriu zero.

Exemple

$(\begin{array}{cc} 1 & 3 \\ 2 & 6 \end{array}) = (\begin{array}{cc} 1 & 3 \\ 2 & 6 \end{array})$

són matrius iguals.