Exercicis de Sistemes d'EDO lineals a coeficients constants no homogenis

Resol el següent sistema lineal amb condicions inicials: {x=(1111)x+(1t1t)x(1)=(21)

Veure desenvolupament i solució

Desenvolupament:

Resolguem primer la part homogènia. Hem de resoldre: x=(1111)x La matriu corresponent no diagonalitza, calculem la forma reduïda de Jordan: J=(0010) essent λ=0 el valor propi de multiplicitat 2.

Una matriu de vectors propis i per tant el canvi de base S és: S=(1101)

Sabem que una matriu fonamental del sistema homogeni és: ϕh(t)=SetJ=(1101)(e0t0te0te0t)=(1101)(10t1)=(1+t1t1)

Busquem ara una solució particular del sistema no homogeni del tipus: xp(t)=ϕh(t)u(t) Sabem que u(t) és tal que u(t)=(ϕh(t))1b(t)

Així doncs, com (ϕh(t))1=(1+t1t1)1=(11tt+1) hem de u(t)=(11tt+1)=(1t1t)=(1t1ttt+t+1t)=(01t) i resolent aquestes EDO's separables: u(t)=(0dt1tdt)=(0ln(t)) Per tant una solució particular és xp(t)=ϕh(t)u(t)=(1+t1t1)(0ln(t))=(ln(t)ln(t)) La solució general del sistema sabem que és: x(t)=xh(t)+xp(t)=ϕh(t)C+xp(t)=(1+t1t1)(C1C2)+(ln(t)ln(t)) Ara només ens falta imposar les condicions inicials, és a dir trobar el vector C.

Avaluem la solució en t=1 i imposem que la solució valgui (2,1): (21)=x(1)=(2111)(C1C2)+(00) (2111)(C1C2)=(21) Resolent el sistema lineal, obtenim: C=(34).

Per tant la solució és: x(t)=(1+t1t1)(34)+(ln(t)ln(t))=(3+3t4+ln(t)3t4+ln(t))= =(3t1+ln(t)3t4+ln(t))

Solució:

x(t)=(3t1+ln(t)3t4+ln(t))

Amagar desenvolupament i solució
Veure teoria