Dada la tabla de la función $$f(x)=e^x$$:
| $$x$$ | $$0.0$$ | $$0.2$$ | $$0.4$$ |
| $$f(x)$$ | $$1.0000$$ | $$1.2214$$ | $$1.4918$$ |
- Encontrar el valor de $$\sqrt[3]{e}$$ por interpolación.
- Encontrar una cota del error.
- Encontrar el valor de $$\sqrt[3]{e}$$ por interpolación si añadimos un nuevo dato: $$(0.6, 1.8221)$$.
Desarrollo:
1) Vamos a interpolar la función, a partir de los datos dados para después encontrar una aproximación de $$\sqrt[3]{e}$$. Escribimos la tabla:
| $$0.0$$ | $$1.0000$$ | ||
| $$\dfrac{1.2214-1.0000}{0.2-0.0}=\dfrac{0.2214}{0.2}=1.107$$ | |||
| $$0.2$$ | $$1.2214$$ | $$\dfrac{1.352-1.107}{0.4-0.0}=\dfrac{0.245}{0.4}=0.6125$$ | |
| $$\dfrac{1.4918-1.2214}{0.4-0.2}=\dfrac{0.2704}{0.2}=1.352$$ | |||
| $$0.4$$ | $$1.4918$$ |
De esta forma el polinomio interpolador es
$$ \begin{array}{rl} P_2(x)=& 1.000+1.107\cdot(x-0)+0.6125\cdot(x-0)\cdot(x-0.2) \\ =& 1.000+1.107x-0.1225x+0.6125x^2\\ =& 1.000+0.9845x+0.6125x^2 \end{array}$$
Entonces, $$\sqrt[3]{e}=e^{\frac{1}{3}}\approx P_2\Big( \dfrac{1}{3}\Big) = 1+0.9845\cdot\dfrac{1}{3}+0.6125\cdot\dfrac{1}{9}=1.3962$$
2) Como ya sabemos, el cálculo que hemos hecho es aproximado. Vamos a intentar dar una cota del error cometido. Para ello tendremos que conocer la tercera derivada de la función y una cota de su módulo sabiendo que $$x\in(0,0.4)$$:
$$$f^{(3)}(x)=e^x \Rightarrow |f^{(3)}(x)|\leqslant e^{0.4} $$$
puesto que la función es creciente. Por lo tanto:
$$$ \begin{array}{rl} |\text{error}|=& \Big| f\Big( \dfrac{1}{3} \Big) - P_2 \Big( \dfrac{1}{3} \Big) \Big| = \Big| \dfrac{f^{(3)}(\xi(x))}{3!}\cdot\Big( \dfrac{1}{3}-0\Big)\cdot \Big( \dfrac{1}{3}-0.2\Big)\cdot\Big( \dfrac{1}{3}-0.4\Big) \Big| \\ \leqslant & \Big| \dfrac{e^{0.4}}{3!}\cdot \dfrac{1}{3} \cdot \cdot \Big( \dfrac{1}{3}-0.2\Big)\cdot\Big( \dfrac{1}{3}-0.4\Big) \Big| = 0.36\cdot 10^{-4} \end{array} $$$
3) Teniendo en cuenta que hemos calculado el polinomio interpolador por el método de Newton, al añadir otro dato, utilizaremos los cálculos ya hechos. A la tabla que teníamos, añadimos una nueva fila con el nuevo dato:
| $$0.0$$ | $$1.0000$$ | |||
| $$\dfrac{1.2214-1.0000}{0.2-0.0}=\dfrac{0.2214}{0.2}=1.107$$ | ||||
| $$0.2$$ | $$1.2214$$ | $$\dfrac{1.352-1.107}{0.4-0.0}=\dfrac{0.245}{0.4}=0.6125$$ | ||
| $$\dfrac{1.4918-1.2214}{0.4-0.2}=\dfrac{0.2704}{0.2}=1.352$$ | $$\dfrac{0.74875-0.6125}{0.6-0.0}=\dfrac{0.13625}{0.6}=0.22708$$ | |||
| $$0.4$$ | $$1.4918$$ | $$\dfrac{1.6515-1.352}{0.6-0.2}=\dfrac{0.2995}{0.4}=0.74875$$ | ||
| $$\dfrac{1.8221-1.4918}{0.6-0.4}=\dfrac{0.3303}{0.2}=1.6515$$ | ||||
| $$0.6$$ | $$1.8221$$ |
Con los cálculos nuevos. El polinomio interpolador, de grado $$3$$ ahora es:
$$ \begin{array}{rl} P_3(x)=& 1+1.107\cdot(x-0)+0.6125\cdot(x-0)\cdot(x-0.2)\\ & +0.22708\cdot(x-0)\cdot(x-0.2)\cdot(x-0.4)\\ =& 1+1.107x-0.1225x+0.6125x^2+0.22708x^3\\ &-0.0908x^2-0.0454x^2+0.0182x\\ =& 1+1.0027x+0.4853x^2 +0.2271x^3 \end{array}$$
Ahora, el valor de $$\sqrt[3]{e}$$ será: $$$\sqrt[3]{e}=e^{\frac{1}{3}}\approx P_3\Big( \dfrac{1}{3}\Big) = 1+1.0027\cdot\dfrac{1}{3}+0.4853\cdot\dfrac{1}{9}+0.2271\dfrac{1}{27}=1.3967$$$
Solución:
- $$1.3962$$
- $$7.36\cdot 10^{-4}$$
- $$1.3967$$