Ejercicios de Método de Newton

Desarrollo:

1) Vamos a interpolar la función, a partir de los datos dados para después encontrar una aproximación de $\sqrt[3]{e}$. Escribimos la tabla:

$0.0$	$1.0000$
		${\displaystyle \frac{1.2214-1.0000}{0.2-0.0}}={\displaystyle \frac{0.2214}{0.2}}=1.107$
$0.2$	$1.2214$		${\displaystyle \frac{1.352-1.107}{0.4-0.0}}={\displaystyle \frac{0.245}{0.4}}=0.6125$
		${\displaystyle \frac{1.4918-1.2214}{0.4-0.2}}={\displaystyle \frac{0.2704}{0.2}}=1.352$
$0.4$	$1.4918$

De esta forma el polinomio interpolador es

$\begin{array}{rl}{P}_2(x)=& 1.000+1.107\cdot (x-0)+0.6125\cdot (x-0)\cdot (x-0.2)\\ =& 1.000+1.107x-0.1225x+0.6125x^2\\ =& 1.000+0.9845x+0.6125x^2\end{array}$

Entonces, $\sqrt[3]{e}=e^{\frac{1}{3}}\approx P_2({\displaystyle \frac{1}{3}})=1+0.9845\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}}+0.6125\cdot {\displaystyle \frac{1}{9}}=1.3962$

2) Como ya sabemos, el cálculo que hemos hecho es aproximado. Vamos a intentar dar una cota del error cometido. Para ello tendremos que conocer la tercera derivada de la función y una cota de su módulo sabiendo que $x\in (0,0.4)$:

$$f^{(3)}(x)=e^x\Rightarrow |f^{(3)}(x)|⩽e^{0.4}$$

puesto que la función es creciente. Por lo tanto:

$$\begin{array}{rl}|\text{error}|=& |f({\displaystyle \frac{1}{3}})-P_2({\displaystyle \frac{1}{3}})|=|{\displaystyle \frac{f^{(3)}(\xi (x))}{3!}}\cdot ({\displaystyle \frac{1}{3}}-0)\cdot ({\displaystyle \frac{1}{3}}-0.2)\cdot ({\displaystyle \frac{1}{3}}-0.4)|\\ ⩽& |{\displaystyle \frac{e^{0.4}}{3!}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot \cdot ({\displaystyle \frac{1}{3}}-0.2)\cdot ({\displaystyle \frac{1}{3}}-0.4)|=0.36\cdot {10}^{-4}\end{array}$$

3) Teniendo en cuenta que hemos calculado el polinomio interpolador por el método de Newton, al añadir otro dato, utilizaremos los cálculos ya hechos. A la tabla que teníamos, añadimos una nueva fila con el nuevo dato:

Con los cálculos nuevos. El polinomio interpolador, de grado $3$ ahora es:

$\begin{array}{rl}{P}_3(x)=& 1+1.107\cdot (x-0)+0.6125\cdot (x-0)\cdot (x-0.2)\\ & +0.22708\cdot (x-0)\cdot (x-0.2)\cdot (x-0.4)\\ =& 1+1.107x-0.1225x+0.6125x^2+0.22708x^3\\ & -0.0908x^2-0.0454x^2+0.0182x\\ =& 1+1.0027x+0.4853x^2+0.2271x^3\end{array}$

Ahora, el valor de $\sqrt[3]{e}$ será: $$\sqrt[3]{e}=e^{\frac{1}{3}}\approx P_3({\displaystyle \frac{1}{3}})=1+1.0027\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}}+0.4853\cdot {\displaystyle \frac{1}{9}}+0.2271{\displaystyle \frac{1}{27}}=1.3967$$

Solución:

1. $1.3962$
2. $7.36\cdot {10}^{-4}$
3. $1.3967$

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