Simplificación de expresiones con factoriales

Una expresión factorial se puede escribir utilitzando el recurso: $n! = n \cdot (n - 1)!$

Esto permite simplificar términos cuando los factoriales aparecen en fracciones.

Ejemplo

Por ejemplo, para calcular una expresión como: $\frac{8!}{6! \cdot 3!}$ debemos tener en cuenta que en el numerador $8! = 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 8 \cdot 7 \cdot 6!$ (hemos detenido el desarrollo en el $6!$ porque es el término que aparece en el denominador y de esta forma lo podremos simplificar). De manera que $\frac{8!}{6! \cdot 3!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6!}{6! \cdot 3!} = \frac{8 \cdot 7}{3 \cdot 2} = \frac{28}{3}$

Ejemplo

Calculemos el valor de: $\frac{14! \cdot 6!}{13! \cdot 7!}$ En este caso jugaremos con los desarrollos del numerador y denominador para tener la mayor ventaja en la simplificación, $14! = 14 \cdot 13!$ y $7! = 7 \cdot 6!$ :

$\frac{14! \cdot 6!}{13! \cdot 7!} = \frac{14 \cdot 13! \cdot 6!}{13! \cdot 7 \cdot 6!} = \frac{14}{7} = 2$

El mismo método puede utilizarse para expresiones literales (aquellas en las que en vez de números aparecen letras): $\frac{x!}{(x - 1)!} = \frac{x \cdot (x - 1)!}{(x - 1)!} = x$

El ejemplo puede ser tan complicado como se quiera, pero la solución siempre será sencilla: $\frac{(m - 2)! \cdot x!}{(x - 1)! \cdot m!} = \frac{(m - 2)! \cdot x \cdot (x - 1)!}{(x - 1)! m \cdot (m - 1)!} = \frac{(m - 2)! \cdot x}{m \cdot (m - 1) \cdot (m - 2)!} = \frac{x}{m \cdot (m - 1)}$