Factoritza els següents polinomis:
- $$x^2+10x+25$$
- $$x^4-625$$
- $$x^2+x-6$$
Desenvolupament:
1) Intentarem modificar el polinomi per tenir una expressió similar al quadrat de la suma:
$$x^2+10x+25=x^2+2\cdot5x+5^2=(x+5)^2$$
2) Realitzem el canvi de variable $$x^2=t$$:
$$t^2-625$$
I ara podem aplicar la diferència de quadrats:
$$t^2-625=(t+25)\cdot(t-25)$$
Les solucions són $$t=25$$ i $$t=-25$$. Desfem el canvi ara:
$$x^2=25 \Rightarrow \left\{\begin{array}{c} x=5 \\ x=-5 \end{array} \right.$$
L'altre polinomi $$x^2+25$$ és irreductible.
3) Busquem els candidats a arrels del polinomi explicitant els divisors del terme independent (en aquest cas $$6$$):
valors: $$1,-1,2,-2,3,-3$$
Per tant:
$$p(1)=1^2+1-6=-4$$
$$p(-1)=(-1)^2+(-1)-6=-6$$
$$p(2)=2^2+2-6=0$$
$$p(-2)=(-2)^2+(-2)-6=-4$$
$$p(3)=3^2+3-6=6$$
$$p(-3)=(-3)^2+(-3)-6=0$$
Solució:
- L'arrel és $$x=-5$$.
- Les arrels són $$x=5$$ i $$x=-5$$.
- Les arrels són $$x=2$$ i $$x=-3$$.