Concepte d'arrel
L'arrel o zero d'un polinomi
Els matemàtics, al llarg de la història, sempre han estat fascinats per trobar les arrels d'un polinomi qualsevol. En general, aquest problema és molt complicat.
Amb tot, a partir del teorema del residu i del teorema del factor, podem deduir algunes propietats sobre les arrels d'un polinomi:
1) Les arrels d'un polinomi són divisors del terme independent. Si no té terme independent, vol dir que és divisible per
Exemple
Exemple
El polinomi
Llavors, pel teorema del factor,
2) Sent
Exemple
El polinomi
Exemple
El polinomi
3) Un polinomi es diu irreductible o primer si no té cap nombre racional que sigui arrel.
Exemple
Els polinomis
Factorització d'un polinomi
El procés de factorització d'un polinomi consisteix a trobar totes les seves arrels.
Hi ha diferents tècniques per trobar les arrels d'un polinomi. A continuació explicarem les més destacades:
Ús d'identitats notables
La idea és utilitzar les identitats notables però al revés. Per exemple, si sabem que:
Exemple
Factoritza el polinomi
Si ens fixem una mica, veiem que el polinomi anterior correspon a un quadrat de la diferència:
Exemple
Factoritza el polinomi
Si ens fixem, veiem que el polinomi anterior correspon al cub d'una suma:
Ús de les fórmules per solucionar equacions quadràtiques
Si tenim un polinomi
Aquests valors solució seran les arrels del polinomi
Exemple
Factoritza el polinomi
Hem de solucionar la següent equació
Apliquem la fórmula per trobar les arrels d'una equació quadràtica
Per tant, el polinomi té
Exemple
Factoritza el polinomi
Hem de solucionar la següent equació
Apliquem la fórmula per trobar les arrels d'una equació quadràtica
Per tant, el polinomi té
Ús de les fórmules per solucionar equacions biquadràtiques
Si tenim un polinomi
Aquests valors solució seran les arrels del polinomi
Exemple
Factoritza el polinomi
Hem de solucionar la següent equació
Realitzem el canvi de variable
Apliquem la fórmula per trobar les arrels d'una equació quadràtica
Ara desfem el canvi:
Per tant, el polinomi té
Exemple
Factoritza el polinomi
Hem de solucionar la següent equació
Realitzem el canvi de variable
Apliquem la fórmula per trobar les arrels d'una equació quadràtica
Ara desfem el canvi:
Per tant, el polinomi té
Ús del teorema del factor
Per polinomis de grau superior, la nostra única eina és utilitzar el teorema del factor.
D'aquesta manera, per trobar les arrels d'un polinomi només caldrà que avaluem el polinomi per als valors de
Exemple
Factoritza el polinomi
Tal i com diuen les propietats del teorema del factor, si
Ara bé, quin valor pren
- Si
és una arrel de , és un divisor del terme independent de .
En el nostre cas, els divisors del terme independent del polinomi (de valor
Així doncs, les arrels de
Exemple
Factoritza el polinomi
Els divisors del terme independent del polinomi (de valor
Així doncs, les arrels de