Quan multipliquem un nombre (coeficient) per una incògnita (variable), resulta un monomi. Ara bé, què passaria si en comptes de multiplicar els suméssim?
$$$x^6+10$$$ $$$x+1$$$
Què passa quan sumem monomis que no són semblants? I si els restem?
Quan unim monomis no semblants mitjançant sumes i / o restes obtenim un polinomi.
$$$2x^2+x-1$$$ Que és el resultat de sumar els monomis $$2x^2$$ i $$x$$, i restar el monomi $$1$$.
O també $$$3x^5-x^2+x-5$$$ Que és el resultat de sumar els monomis $$3x^5$$ i $$x$$, i restar els monomis $$x^2$$ i $$5$$.
En matemàtiques, per nomenar polinomis s'utilitza una lletra seguida d'un parèntesi amb la variable (o les variables, separades per comes) del polinomi. Així doncs, els exemples anteriors serien:
$$p(x)=2x^2+x-1$$ i $$q(x)=3x^5-x^2+x-5$$
Si hi hagués més d'una variable, com hem dit:
$$p(x,y)=x^6y+xy-x$$
$$q(x,y,z)=xyz^2+xyz-xy^3z-zyz+zy-z$$
$$r(x,y,z,t)=xyzt$$
Cal anar amb compte en la manera de representar els polinomis, ja que podríem cometre errors de notació.
$$q(x,y)=3x^2y+4x$$, $$q(x)=3x^2y+4x$$
En el primer polinomi, "$$y$$" actua com a variable. En canvi, en el segon, la "$$y$$" és un coeficient (que té de valor $$y$$, un nombre que no coneixem a priori).
Per això, són dos polinomis diferents (per exemple, el primer és de grau $$3$$ i el segon de grau $$2$$).
A partir d'aquí, i utilitzant com a exemple el polinomi $$p(x)=2x^2+x-1$$, definim les següents característiques d'un polinomi:
-
Variable / s del polinomi: incògnita o incògnites que trobem al polinomi. Al polinomi $$p(x), x$$.
-
Grau del polinomi: és l'exponent més gran de tots els monomis que té el polinomi. En el nostre exemple, $$max\{2,1,0\}=2$$
-
Coeficient principal: és el coeficient del monomi d'exponent el grau del polinomi. En el nostre cas, $$2$$.
- Terme independent: el coeficient del monomi d'exponent nul. Si no existeix aquest monomi, és igual a $$0$$. En el nostre cas, és $$-1$$.
Classificació de polinomis
Podem classificar els polinomis segons les seves característiques.
Classificació de polinomis segons el seu grau
- Grau zero: Són coeficients. $$$q(x)=-1$$$ $$$q(x)=\dfrac{1}{2}$$$
- Primer grau: $$$q(x)=x-1$$$ $$$q(y)=3y-\dfrac{3}{4}$$$ $$$p(y)=\dfrac{y}{2}+\dfrac{1}{4}$$$
- Segon grau: $$$p(z)=z^2+3z-9$$$ $$$p(x)=\dfrac{x^2}{3}+2x$$$ $$$q(z)=z^2-\dfrac{10}{3}$$$
- Tercer grau: $$$r(t)=t^3+t^2+1$$$ $$$p(t)=\dfrac{t^3}{4}+\dfrac{t^2}{2}-t+10$$$ $$$q(x)=x^3-\dfrac{1}{4}$$$
I podríem seguir fins al número que volguéssim.
Classificació de polinomis segons els seus coeficients
- Polinomi complet: té tots els coeficients diferents de zero. $$$p(x)=x^3+x^2+x+1$$$ $$$p(x,y)=2x^2+y^2-xy+x+y-\dfrac{1}{3}$$$ $$$r(t)=t^2-4t+9$$$
- Polinomi incomplet: té algún coeficient igual a zero. $$$p(x)=x^3+x+1$$$ $$$p(x,y)=2x^2+y^2+x+y-\dfrac{1}{3}$$$ $$$r(t)=t^2-4t$$$
- Polinomi nul: té tots els coeficients iguals a zero. $$$p(x)=0$$$
Classificació de polinomis segons els graus dels seus monomis
- Polinomi ordenat: els monomis apareixen escrits de major a menor grau. $$$p(x)=x^4+x^3+x^2+x+1$$$ $$$q(x)=x^6+x^4+x^2+x+1$$$ $$$r(x)=x^{100}+x^2+2x$$$
- Polinomi homogeni: tots els seus monomis tenen el mateix grau. $$$p(x)=2x$$$ $$$p(x,y)=3x^2y+4x^3+2xy^2$$$ $$$p(x,y)=\dfrac{xy}{2}+x^2+y^2$$$
- Polinomi heterogeni: no tots els seus monomis tenen el mateix grau. $$$p(x)=2x-1$$$ $$$p(x,y)=3x^2y+4x^3+2xy^2$$$ $$$p(x,y)=\dfrac{xy}{2}+x^2y+y^2$$$
- Polinomis iguals. Són aquells que compleixen:
- Tenen el mateix grau.
- Els coeficients dels monomis de mateix grau són iguals. $$$p(x)=3x^2+1$$$ $$$q(x)=1+3x^2$$$ $$$p(x,y)=xy+4x-1$$$ $$$q(y,x)=-1+4x+yx$$$