Definició i classificació de polinomis

Quan multipliquem un nombre (coeficient) per una incògnita (variable), resulta un monomi. Ara bé, què passaria si en comptes de multiplicar els suméssim?

Què passa quan sumem monomis que no són semblants? I si els restem?

Quan unim monomis no semblants mitjançant sumes i / o restes obtenim un polinomi.

En matemàtiques, per nomenar polinomis s'utilitza una lletra seguida d'un parèntesi amb la variable (o les variables, separades per comes) del polinomi. Així doncs, els exemples anteriors serien:

$p(x)=2x^2+x-1$ i $q(x)=3x^5-x^2+x-5$

Si hi hagués més d'una variable, com hem dit:

$p(x,y)=x^{6}y+xy-x$

$q(x,y,z)=xy{z}^2+xyz-x{y}^{3}z-zyz+zy-z$

$r(x,y,z,t)=xyzt$

Cal anar amb compte en la manera de representar els polinomis, ja que podríem cometre errors de notació.

En el primer polinomi, "$y$" actua com a variable. En canvi, en el segon, la "$y$" és un coeficient (que té de valor $y$, un nombre que no coneixem a priori).

Per això, són dos polinomis diferents (per exemple, el primer és de grau $3$ i el segon de grau $2$).

A partir d'aquí, i utilitzant com a exemple el polinomi $p(x)=2x^2+x-1$, definim les següents característiques d'un polinomi:

• Variable / s del polinomi: incògnita o incògnites que trobem al polinomi. Al polinomi $p(x),x$.

• Grau del polinomi: és l'exponent més gran de tots els monomis que té el polinomi. En el nostre exemple, $max\{2,1,0\}=2$

• Coeficient principal: és el coeficient del monomi d'exponent el grau del polinomi. En el nostre cas, $2$.

• Terme independent: el coeficient del monomi d'exponent nul. Si no existeix aquest monomi, és igual a $0$. En el nostre cas, és $-1$.

Classificació de polinomis

Podem classificar els polinomis segons les seves característiques.

Classificació de polinomis segons el seu grau

• Grau zero: Són coeficients. $$q(x)=-1$$ $$q(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}$$
• Primer grau: $$q(x)=x-1$$ $$q(y)=3y-{\displaystyle \frac{3}{4}}$$ $$p(y)={\displaystyle \frac{y}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}$$
• Segon grau: $$p(z)=z^2+3z-9$$ $$p(x)={\displaystyle \frac{x^2}{3}}+2x$$ $$q(z)=z^2-{\displaystyle \frac{10}{3}}$$
• Tercer grau: $$r(t)=t^3+t^2+1$$ $$p(t)={\displaystyle \frac{t^3}{4}}+{\displaystyle \frac{t^2}{2}}-t+10$$ $$q(x)=x^3-{\displaystyle \frac{1}{4}}$$

I podríem seguir fins al número que volguéssim.

Classificació de polinomis segons els seus coeficients

• Polinomi complet: té tots els coeficients diferents de zero. $$p(x)=x^3+x^2+x+1$$ $$p(x,y)=2x^2+y^2-xy+x+y-{\displaystyle \frac{1}{3}}$$ $$r(t)=t^2-4t+9$$
• Polinomi incomplet: té algún coeficient igual a zero. $$p(x)=x^3+x+1$$ $$p(x,y)=2x^2+y^2+x+y-{\displaystyle \frac{1}{3}}$$ $$r(t)=t^2-4t$$
• Polinomi nul: té tots els coeficients iguals a zero. $$p(x)=0$$

Classificació de polinomis segons els graus dels seus monomis

• Polinomi ordenat: els monomis apareixen escrits de major a menor grau. $$p(x)=x^4+x^3+x^2+x+1$$ $$q(x)=x^6+x^4+x^2+x+1$$ $$r(x)=x^{100}+x^2+2x$$
• Polinomi homogeni: tots els seus monomis tenen el mateix grau. $$p(x)=2x$$ $$p(x,y)=3x^{2}y+4x^3+2x{y}^2$$ $$p(x,y)={\displaystyle \frac{xy}{2}}+x^2+y^2$$
• Polinomi heterogeni: no tots els seus monomis tenen el mateix grau. $$p(x)=2x-1$$ $$p(x,y)=3x^{2}y+4x^3+2x{y}^2$$ $$p(x,y)={\displaystyle \frac{xy}{2}}+x^{2}y+y^2$$
• Polinomis iguals. Són aquells que compleixen:
  • Tenen el mateix grau.
  • Els coeficients dels monomis de mateix grau són iguals. $$p(x)=3x^2+1$$ $$q(x)=1+3x^2$$ $$p(x,y)=xy+4x-1$$ $$q(y,x)=-1+4x+yx$$