Ordena els següents polinomis i especifica el seu grau així com si són complets i/o homogenis:
- $$p(x)=3x-3x^2+1+x^4$$
- $$q(x,y)=3xy-3x^2-4y^2$$
- $$r(x,y)=10-x-xy-x^2-\dfrac{2}{5}y^2+y$$
Desenvolupament:
1) Ordenat: No, un element de grau u $$(3x)$$ està situat abans que un element de grau dos $$(-3x^2)$$.
Grau: $$max\{1,2,0,4\}$$.
Complet: Hi ha elements de graus $$1,2,0,4$$.
Homogeni: Hi ha elements de diferents graus.
2) Ordenat: Sí, tots els elements tenen grau dos.
Grau: $$max\{2,2,2\}$$.
Complet: Només hi ha elements de grau dos.
Homogeni: Tots els elements tenen el mateix grau.
3) Ordenat: No, un element de grau zero $$(10)$$ està situat abans que un element de grau u $$(-x)$$.
Grau: $$max\{0,1,2,2,2,1\}$$.
Complet: Existeixen elements de graus $$1,2,0$$.
Homogeni: Hi ha elements de diferents graus.
Solució:
1) El polinomi ordenat seria $$p(x)=x^4-3x^2+3x+1$$
Grau: $$4$$
Complet: No. Falta un element de grau $$3$$.
Homogeni: No.
2) Ordenat: Sí
Grau: $$2$$
Complet: No. Falten elements de grau $$1$$ i $$0$$
Homogeni: Sí.
3) El polinomi ordenat seria $$r(x,y)=-xy-x^2-\dfrac{2}{5}y^2-x+y+10$$
Grau: $$2$$
Complet: Sí
Homogeni: No.