Ordena los siguientes polinomios y especifica su grado así como si son completos y/o homogéneos:
- $$p(x)=3x-3x^2+1+x^4$$
- $$q(x,y)=3xy-3x^2-4y^2$$
- $$r(x,y)=10-x-xy-x^2-\dfrac{2}{5}y^2+y$$
Desarrollo:
1) Ordenado: No, un elemento de grado uno $$(3x)$$ está situado antes que un elemento de grado dos $$(-3x^2)$$.
Grado: $$max\{1,2,0,4\}$$.
Completo: Existen elementos de grados $$1,2,0,4$$.
Homogéneo: Existen elementos de diferentes grados.
2) Ordenado: Sí, todos los elementos tienen grado dos.
Grado: $$max\{2,2,2\}$$.
Completo: Sólo existen elementos de grado dos.
Homogéneo: Todos los elementos tienen el mismo grado.
3) Ordenado: No, un elemento de grado cero $$(10)$$ está situado antes que un elemento de grado uno $$(-x)$$.
Grado: $$max\{0,1,2,2,2,1\}$$.
Completo: Existen elementos de grados $$1,2,0$$.
Homogéneo: Existen elementos de diferentes grados.
Solución:
1) El polinomio ordenado sería $$p(x)=x^4-3x^2+3x+1$$
Grado: $$4$$
Completo: No. Falta un elemento de grado $$3$$.
Homogéneo: No.
2) Ordenado: Sí
Grado: $$2$$
Completo: No. Faltan elementos de grado $$1$$ y $$0$$
Homogéneo: Sí
3) El polinomio ordenado sería $$r(x,y)=-xy-x^2-\dfrac{2}{5}y^2-x+y+10$$
Grado: $$2$$
Completo: Sí
Homogéneo: No