Definición y clasificación de polinomios

Cuando multiplicamos un número (coeficiente) por una incógnita (variable), resulta un monomio. Ahora bien, ¿qué pasaría si en vez de multiplicar los sumásemos?

¿Qué pasa cuando sumamos monomios que no son semejantes? ¿Y si los restamos?

Cuando unimos monomios no semejantes mediante sumas y/o restas obtenemos un polinomio.

En matemáticas, para nombrar polinomios se utiliza una letra seguida de un paréntesis con la variable (o las variables, separadas por comas) del polinomio. Así pues, los ejemplos anteriores serían:

$p(x)=2x^2+x-1$ i $q(x)=3x^5-x^2+x-5$

Si hubiera más de una variable, como hemos dicho:

$p(x,y)=x^{6}y+xy-x$

$q(x,y,z)=xy{z}^2+xyz-x{y}^{3}z-zyz+zy-z$

$r(x,y,z,t)=xyzt$

Se debe ir con cuidado en la manera de representar los polinomios, ya que podríamos cometer errores de notación.

En el primer polinomio, "$y$" actúa como variable. En cambio, en el segundo, la "$y$" es un coeficiente (que tiene de valor $y$, un número que no conocemos a priori).

Por eso, son dos polinomios diferentes (por ejemplo, el primero es de grado $3$ y el segundo de grado $2$).

A partir de aquí, y utilizando como ejemplo el polinomio $p(x)=2x^2+x-1$, definimos las siguiente características de un polinomio:

• variable/s del polinomio: incógnita o incógnitas que encontramos en el polinomio. En el polinomio $p(x),x$.

• grado del polinomio: es el exponente mayor de todos los monomios que tiene el polinomio. En nuestro ejemplo, $max\{2,1,0\}=2$

• coeficiente principal: es el coeficiente del monomio de exponente el grado del polinomio. En nuestro caso, $2$.

• término independiente: es el coeficiente del monomio de exponente nulo. Si no existe dicho monomio, es igual a $0$. En nuestro caso, es $-1$.

Clasificación de polinomios

Podemos clasificar los polinomios según sus características.

Clasificación de polinomios según su grado

• Grado cero: Son coeficientes. $$q(x)=-1$$ $$q(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}$$
• Primer grado: $$q(x)=x-1$$ $$q(y)=3y-{\displaystyle \frac{3}{4}}$$ $$p(y)={\displaystyle \frac{y}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}$$
• Segundo grado: $$p(z)=z^2+3z-9$$ $$p(x)={\displaystyle \frac{x^2}{3}}+2x$$ $$q(z)=z^2-{\displaystyle \frac{10}{3}}$$
• Tercer grado: $$r(t)=t^3+t^2+1$$ $$p(t)={\displaystyle \frac{t^3}{4}}+{\displaystyle \frac{t^2}{2}}-t+10$$ $$q(x)=x^3-{\displaystyle \frac{1}{4}}$$

Y podríamos seguir hasta el número que nos gustase.

Clasificación de polinomios según sus coeficientes

• Polinomio completo: tiene todos los coeficientes diferentes de cero. $$p(x)=x^3+x^2+x+1$$ $$p(x,y)=2x^2+y^2-xy+x+y-{\displaystyle \frac{1}{3}}$$ $$r(t)=t^2-4t+9$$
• Polinomio incompleto: tiene algún coeficiente igual a cero. $$p(x)=x^3+x+1$$ $$p(x,y)=2x^2+y^2+x+y-{\displaystyle \frac{1}{3}}$$ $$r(t)=t^2-4t$$
• Polinomio nulo: tiene todos los coeficiente iguales a cero. $$p(x)=0$$

Clasificación de polinomios según los grados de sus monomios

• Polinomio ordenado: los monomios aparecen escritos de mayor a menor grado. $$p(x)=x^4+x^3+x^2+x+1$$ $$q(x)=x^6+x^4+x^2+x+1$$ $$r(x)=x^{100}+x^2+2x$$
• Polinomio homogéneo: todos sus monomios tienen el mismo grado. $$p(x)=2x$$ $$p(x,y)=3x^{2}y+4x^3+2x{y}^2$$ $$p(x,y)={\displaystyle \frac{xy}{2}}+x^2+y^2$$
• Polinomio heterogéneo: no todos sus monomios tienen el mismo grado. $$p(x)=2x-1$$ $$p(x,y)=3x^{2}y+4x^3+2x{y}^2$$ $$p(x,y)={\displaystyle \frac{xy}{2}}+x^{2}y+y^2$$
• Polinomios iguales. Son aquellos que cumplen:
  • Tienen el mismo grado.
  • Los coeficientes de los monomios de mismo grado son iguales. $$p(x)=3x^2+1$$ $$q(x)=1+3x^2$$ $$p(x,y)=xy+4x-1$$ $$q(y,x)=-1+4x+yx$$