Cuando multiplicamos un número (coeficiente) por una incógnita (variable), resulta un monomio. Ahora bien, ¿qué pasaría si en vez de multiplicar los sumásemos?
$$$x^6+10$$$ $$$x+1$$$
¿Qué pasa cuando sumamos monomios que no son semejantes? ¿Y si los restamos?
Cuando unimos monomios no semejantes mediante sumas y/o restas obtenemos un polinomio.
$$$2x^2+x-1$$$ que es el resultado de sumar los monomios $$2x^2$$ y $$x$$, y restar el monomio $$1$$.
O también $$$3x^5-x^2+x-5$$$ que es el resultado de sumar los monomios $$3x^5$$ y $$x$$, y restar los monomios $$x^2$$ y $$5$$.
En matemáticas, para nombrar polinomios se utiliza una letra seguida de un paréntesis con la variable (o las variables, separadas por comas) del polinomio. Así pues, los ejemplos anteriores serían:
$$p(x)=2x^2+x-1$$ i $$q(x)=3x^5-x^2+x-5$$
Si hubiera más de una variable, como hemos dicho:
$$p(x,y)=x^6y+xy-x$$
$$q(x,y,z)=xyz^2+xyz-xy^3z-zyz+zy-z$$
$$r(x,y,z,t)=xyzt$$
Se debe ir con cuidado en la manera de representar los polinomios, ya que podríamos cometer errores de notación.
$$q(x,y)=3x^2y+4x$$, $$q(x)=3x^2y+4x$$
En el primer polinomio, "$$y$$" actúa como variable. En cambio, en el segundo, la "$$y$$" es un coeficiente (que tiene de valor $$y$$, un número que no conocemos a priori).
Por eso, son dos polinomios diferentes (por ejemplo, el primero es de grado $$3$$ y el segundo de grado $$2$$).
A partir de aquí, y utilizando como ejemplo el polinomio $$p(x)=2x^2+x-1$$, definimos las siguiente características de un polinomio:
-
variable/s del polinomio: incógnita o incógnitas que encontramos en el polinomio. En el polinomio $$p(x), x$$.
-
grado del polinomio: es el exponente mayor de todos los monomios que tiene el polinomio. En nuestro ejemplo, $$max\{2,1,0\}=2$$
-
coeficiente principal: es el coeficiente del monomio de exponente el grado del polinomio. En nuestro caso, $$2$$.
- término independiente: es el coeficiente del monomio de exponente nulo. Si no existe dicho monomio, es igual a $$0$$. En nuestro caso, es $$-1$$.
Clasificación de polinomios
Podemos clasificar los polinomios según sus características.
Clasificación de polinomios según su grado
- Grado cero: Son coeficientes. $$$q(x)=-1$$$ $$$q(x)=\dfrac{1}{2}$$$
- Primer grado: $$$q(x)=x-1$$$ $$$q(y)=3y-\dfrac{3}{4}$$$ $$$p(y)=\dfrac{y}{2}+\dfrac{1}{4}$$$
- Segundo grado: $$$p(z)=z^2+3z-9$$$ $$$p(x)=\dfrac{x^2}{3}+2x$$$ $$$q(z)=z^2-\dfrac{10}{3}$$$
- Tercer grado: $$$r(t)=t^3+t^2+1$$$ $$$p(t)=\dfrac{t^3}{4}+\dfrac{t^2}{2}-t+10$$$ $$$q(x)=x^3-\dfrac{1}{4}$$$
Y podríamos seguir hasta el número que nos gustase.
Clasificación de polinomios según sus coeficientes
- Polinomio completo: tiene todos los coeficientes diferentes de cero. $$$p(x)=x^3+x^2+x+1$$$ $$$p(x,y)=2x^2+y^2-xy+x+y-\dfrac{1}{3}$$$ $$$r(t)=t^2-4t+9$$$
- Polinomio incompleto: tiene algún coeficiente igual a cero. $$$p(x)=x^3+x+1$$$ $$$p(x,y)=2x^2+y^2+x+y-\dfrac{1}{3}$$$ $$$r(t)=t^2-4t$$$
- Polinomio nulo: tiene todos los coeficiente iguales a cero. $$$p(x)=0$$$
Clasificación de polinomios según los grados de sus monomios
- Polinomio ordenado: los monomios aparecen escritos de mayor a menor grado. $$$p(x)=x^4+x^3+x^2+x+1$$$ $$$q(x)=x^6+x^4+x^2+x+1$$$ $$$r(x)=x^{100}+x^2+2x$$$
- Polinomio homogéneo: todos sus monomios tienen el mismo grado. $$$p(x)=2x$$$ $$$p(x,y)=3x^2y+4x^3+2xy^2$$$ $$$p(x,y)=\dfrac{xy}{2}+x^2+y^2$$$
- Polinomio heterogéneo: no todos sus monomios tienen el mismo grado. $$$p(x)=2x-1$$$ $$$p(x,y)=3x^2y+4x^3+2xy^2$$$ $$$p(x,y)=\dfrac{xy}{2}+x^2y+y^2$$$
- Polinomios iguales. Son aquellos que cumplen:
- Tienen el mismo grado.
- Los coeficientes de los monomios de mismo grado son iguales. $$$p(x)=3x^2+1$$$ $$$q(x)=1+3x^2$$$ $$$p(x,y)=xy+4x-1$$$ $$$q(y,x)=-1+4x+yx$$$