Decimos que dos monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal.
$$4x^4y$$ y $$\dfrac{1}{5}x^4y$$
Otros ejemplos de monomios semejantes serían:
$$5x^2yh$$ y $$\dfrac{6}{7}x^2yh$$
$$x^2$$ y $$3x^2$$
Nótese que el orden en qué las variables aparecen en el monomio no tiene importancia.
Suma de monomios
Sólo podemos sumar monomios semejantes. En este caso, el término independiente queda igual, y se suman los coeficientes.
$$3x^5y+2x^5y=(3+2)x^5y=5x^5y$$
$$4x^3+6x^3=(4+6)x^3=10x^3$$
$$3xyh+11xyh=(3+11)xyh=14xyh$$
Diferencia de monomios
Sólo podemos restar monomios semejantes. En este caso, el término independiente queda igual, y se restan los coeficientes.
$$3x^5y-2x^5y=(3-2)x^5y=1x^5y=x^5y$$
$$4x^3-6x^3=(4-6)x^3=-2x^3$$
$$3xyh-11xyh=(3-11)xyh=-8xyh$$
Producto de monomios
El término independiente del producto es el producto de términos independientes, y el coeficiente del producto es el producto de los coeficientes.
Multiplicamos los monomios $$3x^2y$$, $$\dfrac{3}{4}zy$$
El producto de los coeficientes será $$$3\cdot\dfrac{3}{4}=\dfrac{9}{4}$$$
Y el de los términos independientes $$$(x^2y)\cdot(zy)=x^2yzy=x^2y^2z$$$
Por lo que el resultado final será $$$\dfrac{9}{4}x^2y^2z$$$
De la misma manera, si multiplicamos $$\dfrac{3}{4}x^6z$$, $$\dfrac{16}{7}z^2y$$
El producto de los coeficientes será $$$\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{16}{7}=\dfrac{12}{7}$$$
Y el de los términos independientes $$$(x^6z)\cdot(z^2y)=x^6zz^2y=x^6z^3y$$$
Por lo que el resultado final será $$$\dfrac{12}{7}x^6z^3y$$$
División de monomios
El término independiente de la división es el cociente entre el término independiente del numerador por el término independiente del denominador.
El coeficiente de la división es el cociente entre el coeficiente del numerador por el coeficiente del denominador.
$$\dfrac{3x^2y}{2xy}=\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{x^2y}{xy}=\dfrac{3}{2}x$$
$$\dfrac{3x^2y}{2x^4y}=\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{x^2y}{x^4y}=\dfrac{3}{2}\dfrac{1}{x^2}$$
$$\dfrac{3x^2}{2xz}=\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{x^2}{xz}=\dfrac{3}{2}\dfrac{x}{z}$$
Como vemos en los ejemplos, el resultado de una división de monomios no siempre es un monomio. Algunas veces, como en el segundo y el tercer ejemplo, tenemos una incógnita en el denominador que no podemos simplificar.
En general, encontraremos dos tipos de resultados, dependiendo de las variables y de sus exponentes.
Así:
- mismas variables y los exponentes de cada variable del numerador son mayores o iguales que los del denominador: el resultado es un monomio.
$$\dfrac{x^5z}{5x^3z}=\dfrac{1}{5}\cdot\dfrac{x^5z}{x^3z}=\dfrac{1}{5}x^2$$
$$\dfrac{7x^3z}{5x^3z}=\dfrac{7}{5}\cdot\dfrac{x^3z}{x^3z}=\dfrac{7}{5}\cdot1=\dfrac{7}{5}$$
$$\dfrac{2h^7}{7h^3}=\dfrac{2}{7}\cdot\dfrac{h^7}{h^3}=\dfrac{2}{7}h^4$$
- de otra forma: el resultado es una fracción racional, que como hemos visto, es un cociente entre dos monomios que no se puede reducir más. Veamos ejemplos de las dos situaciones que nos pueden llevar a la aparición de una fracción racional.
Idénticas variables en el numerador y el denominador, pero alguna de ellas con un grado superior en el denominador.
$$\dfrac{xz}{2x^3z}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{xz}{x^3z}=\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{x^2}=\dfrac{1}{2x^2}$$
$$\dfrac{3x^3y}{x^3y^4}=\dfrac{3}{1}\cdot\dfrac{x^3y}{x^3y^4}=3\cdot\dfrac{1}{y^3}=\dfrac{3}{y^3}$$
$$\dfrac{4x}{x^3}=\dfrac{4}{1}\cdot\dfrac{x}{x^3}=4\cdot\dfrac{1}{x^2}=\dfrac{4}{x^2}$$
Existencia de una variable diferente en el denominador.
$$\dfrac{4x^4y^2}{3h}=\dfrac{4}{3}\cdot\dfrac{x^4y^2}{h}$$
$$\dfrac{2x^5}{3x^6}=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{x^5}{x^6}=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{1}{x}=\dfrac{2}{3x}$$
$$\dfrac{1}{t}$$
Nótese que en este último caso el grado del monomio del numerador no importa para nada: por muy grande que sea, si aparece una variable nueva en el denominador, el resultado será siempre una fracción racional.
Potencia de monomios
Tanto el término independiente como el cociente son el resultado de elevar al exponente dado las variables y el coeficiente del monomio original. Si el coeficiente tiene más de una variable, cabe recordar que la potencia de un producto es el producto de los elementos elevados a dicha potencia.
$$(2x)^2=2^2\cdot x^2=4x^2$$
$$(3xy^2)^3=3^3\cdot(xy^2)^3=27\cdot x^3 \cdot (y^2)^3=27x^3y^6$$
$$(\dfrac{1}{2}xyz^3)^4=(\dfrac{1}{2})^4\cdot(xyz^3)^4=\dfrac{1}{2^4}\cdot x^4\cdot y^4\cdot(z^3)^4=\dfrac{1}{16}\cdot x^4\cdot y^4\cdot z^{12}$$
En el primer ejemplo de todos, debemos fijarnos que
$$(-2x)^2=(-2)^2\cdot x^2=4x^2$$
Pero
$$(-2x)^3=(-2)^3\cdot x^3=-8x^3$$
Esto es, si un monomio con coeficiente negativo está elevado a un exponente par, el resultado será positivo; si está elevado a un exponente impar, será negativo.
Veamos algunos ejemplos más:
$$(-\dfrac{1}{2}xy^2)^5=(-\dfrac{1}{2})^5\cdot(xy^2)^5=-\dfrac{1}{2^5}\cdot x^5\cdot y^{10}=-\dfrac{1}{32}\cdot x^5\cdot y^{10}$$
$$(-\dfrac{1}{2}xy^2)^4=(-\dfrac{1}{2})^4\cdot(xy^2)^4=\dfrac{1}{2^4}\cdot x^4\cdot y^8=\dfrac{1}{16}\cdot x^4\cdot y^8$$
$$(-\dfrac{1}{3}x^3h)^3=(-\dfrac{1}{3})^3\cdot(x^3h)^3=-\dfrac{1}{3^3}\cdot x^9\cdot h^3=-\dfrac{1}{27}\cdot x^9\cdot h^3$$
$$(-\dfrac{1}{3}x^3h)^2=(-\dfrac{1}{3})^2\cdot(x^3h)^2=\dfrac{1}{3^2}\cdot x^6\cdot h^2=\dfrac{1}{9}\cdot x^6\cdot h^2$$