Operaciones con monomios

Ejemplo

$4x^{4}y$ y ${\displaystyle \frac{1}{5}}{x}^{4}y$

Otros ejemplos de monomios semejantes serían:

$5x^{2}yh$ y ${\displaystyle \frac{6}{7}}{x}^{2}yh$

$x^2$ y $3x^2$

Nótese que el orden en qué las variables aparecen en el monomio no tiene importancia.

Ejemplo

$3x^{5}y+2x^{5}y=(3+2)x^{5}y=5x^{5}y$

$4x^3+6x^3=(4+6)x^3=10x^3$

$3xyh+11xyh=(3+11)xyh=14xyh$

Ejemplo

$3x^{5}y-2x^{5}y=(3-2)x^{5}y=1x^{5}y=x^{5}y$

$4x^3-6x^3=(4-6)x^3=-2x^3$

$3xyh-11xyh=(3-11)xyh=-8xyh$

Ejemplo

Multiplicamos los monomios $3x^{2}y$, ${\displaystyle \frac{3}{4}}zy$

El producto de los coeficientes será $$3\cdot {\displaystyle \frac{3}{4}}={\displaystyle \frac{9}{4}}$$

Y el de los términos independientes $$(x^{2}y)\cdot (zy)=x^{2}yzy=x^2{y}^{2}z$$

Por lo que el resultado final será $${\displaystyle \frac{9}{4}}{x}^2{y}^{2}z$$

Ejemplo

De la misma manera, si multiplicamos ${\displaystyle \frac{3}{4}}{x}^{6}z$, ${\displaystyle \frac{16}{7}}{z}^{2}y$

El producto de los coeficientes será $${\displaystyle \frac{3}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{16}{7}}={\displaystyle \frac{12}{7}}$$

Y el de los términos independientes $$(x^{6}z)\cdot (z^{2}y)=x^{6}z{z}^{2}y=x^6{z}^{3}y$$

Por lo que el resultado final será $${\displaystyle \frac{12}{7}}{x}^6{z}^{3}y$$

Ejemplo

${\displaystyle \frac{3x^{2}y}{2xy}}={\displaystyle \frac{3}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{x^{2}y}{xy}}={\displaystyle \frac{3}{2}}x$

${\displaystyle \frac{3x^{2}y}{2x^{4}y}}={\displaystyle \frac{3}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{x^{2}y}{x^{4}y}}={\displaystyle \frac{3}{2}}{\displaystyle \frac{1}{x^2}}$

${\displaystyle \frac{3x^2}{2xz}}={\displaystyle \frac{3}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{x^2}{xz}}={\displaystyle \frac{3}{2}}{\displaystyle \frac{x}{z}}$

Ejemplo

${\displaystyle \frac{x^{5}z}{5x^{3}z}}={\displaystyle \frac{1}{5}}\cdot {\displaystyle \frac{x^{5}z}{x^{3}z}}={\displaystyle \frac{1}{5}}{x}^2$

${\displaystyle \frac{7x^{3}z}{5x^{3}z}}={\displaystyle \frac{7}{5}}\cdot {\displaystyle \frac{x^{3}z}{x^{3}z}}={\displaystyle \frac{7}{5}}\cdot 1={\displaystyle \frac{7}{5}}$

${\displaystyle \frac{2h^7}{7h^3}}={\displaystyle \frac{2}{7}}\cdot {\displaystyle \frac{h^7}{h^3}}={\displaystyle \frac{2}{7}}{h}^4$

Ejemplo

Idénticas variables en el numerador y el denominador, pero alguna de ellas con un grado superior en el denominador.

${\displaystyle \frac{xz}{2x^{3}z}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{xz}{x^{3}z}}={\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle \frac{1}{x^2}}={\displaystyle \frac{1}{2x^2}}$

${\displaystyle \frac{3x^{3}y}{x^3{y}^4}}={\displaystyle \frac{3}{1}}\cdot {\displaystyle \frac{x^{3}y}{x^3{y}^4}}=3\cdot {\displaystyle \frac{1}{y^3}}={\displaystyle \frac{3}{y^3}}$

${\displaystyle \frac{4x}{x^3}}={\displaystyle \frac{4}{1}}\cdot {\displaystyle \frac{x}{x^3}}=4\cdot {\displaystyle \frac{1}{x^2}}={\displaystyle \frac{4}{x^2}}$

Ejemplo

Existencia de una variable diferente en el denominador.

${\displaystyle \frac{4x^4{y}^2}{3h}}={\displaystyle \frac{4}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{x^4{y}^2}{h}}$

${\displaystyle \frac{2x^5}{3x^6}}={\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{x^5}{x^6}}={\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{x}}={\displaystyle \frac{2}{3x}}$

${\displaystyle \frac{1}{t}}$

Nótese que en este último caso el grado del monomio del numerador no importa para nada: por muy grande que sea, si aparece una variable nueva en el denominador, el resultado será siempre una fracción racional.

Ejemplo

$(2x{)}^2=2^2\cdot x^2=4x^2$

$(3x{y}^2{)}^3=3^3\cdot (x{y}^2{)}^3=27\cdot x^3\cdot (y^2{)}^3=27x^3{y}^6$

$({\displaystyle \frac{1}{2}}xy{z}^3{)}^4=({\displaystyle \frac{1}{2}}{)}^4\cdot (xy{z}^3{)}^4={\displaystyle \frac{1}{2^4}}\cdot x^4\cdot y^4\cdot (z^3{)}^4={\displaystyle \frac{1}{16}}\cdot x^4\cdot y^4\cdot z^{12}$

En el primer ejemplo de todos, debemos fijarnos que

$(-2x{)}^2=(-2{)}^2\cdot x^2=4x^2$

Pero

$(-2x{)}^3=(-2{)}^3\cdot x^3=-8x^3$

Esto es, si un monomio con coeficiente negativo está elevado a un exponente par, el resultado será positivo; si está elevado a un exponente impar, será negativo.

Veamos algunos ejemplos más:

$(-{\displaystyle \frac{1}{2}}x{y}^2{)}^5=(-{\displaystyle \frac{1}{2}}{)}^5\cdot (x{y}^2{)}^5=-{\displaystyle \frac{1}{2^5}}\cdot x^5\cdot y^{10}=-{\displaystyle \frac{1}{32}}\cdot x^5\cdot y^{10}$

$(-{\displaystyle \frac{1}{2}}x{y}^2{)}^4=(-{\displaystyle \frac{1}{2}}{)}^4\cdot (x{y}^2{)}^4={\displaystyle \frac{1}{2^4}}\cdot x^4\cdot y^8={\displaystyle \frac{1}{16}}\cdot x^4\cdot y^8$

$(-{\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^{3}h{)}^3=(-{\displaystyle \frac{1}{3}}{)}^3\cdot (x^{3}h{)}^3=-{\displaystyle \frac{1}{3^3}}\cdot x^9\cdot h^3=-{\displaystyle \frac{1}{27}}\cdot x^9\cdot h^3$

$(-{\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^{3}h{)}^2=(-{\displaystyle \frac{1}{3}}{)}^2\cdot (x^{3}h{)}^2={\displaystyle \frac{1}{3^2}}\cdot x^6\cdot h^2={\displaystyle \frac{1}{9}}\cdot x^6\cdot h^2$