Teorema del resto y teorema del factor

Teorema del resto

El resto de dividir un polinomio $p (x)$ por otro de la forma $x - a$ , coincide con el valor de $p (a)$ .

Fijémonos que la división especificada cumple las hipótesis de la técnica de Ruffini.

Ejemplo

Calcular el resto de la división $\frac{p (x)}{q (x)}$ , siendo $p (x) = x^{4} + 3 x^{2} - x + 4$ y $q (x) = x + 2$ .

Aplicamos el teorema del resto. Nótese que en este caso $a = - 2$ . $p (- 2) = (- 2)^{4} + 3 \cdot (- 2)^{2} - (- 2) + 4 = 16 + 3 \cdot 4 + 2 + 4 = 34$

Para comprobarlo utilizamos Ruffini:

	$1$	$0$	$3$	$- 1$	$4$
$- 2$		$- 2$	$4$	$- 14$	$30$
	$1$	$- 2$	$7$	$- 15$	$34$

Y efectivamente, coincide con la solución anterior.

Ejemplo

Calcular el resto de la división $\frac{p (x)}{q (x)}$ , siendo $p (x) = x^{5} - 2 x^{2} + x + 3$ y $q (x) = x + 1$ .

Aplicamos el teorema del resto. Nótese que en este caso $a = - 1$ . $p (- 1) = (- 1)^{5} - 2 \cdot (- 1)^{2} + (- 1) + 3 = - 1 - 2 - 1 + 3 = - 1$

Para comprobarlo utilizamos Ruffini:

	$1$	$0$	$0$	$- 2$	$1$	$3$
$- 1$		$- 1$	$1$	$- 1$	$3$	$- 4$
	$1$	$- 1$	$1$	$- 3$	$4$	$- 1$

Y efectivamente, coincide con la solución anterior.

Teorema del factor

Su enunciado es el siguiente:

Un polinomio $p (x)$ es divisible por otro de la forma $x - a$ si, y sólo si, $p (a) = 0$ . En este caso, diremos que $a$ es una raíz o cero del polinomio $p (x)$ .

Ejemplo

Calcular el resto de la división $\frac{p (x)}{q (x)}$ , siendo $p (x) = x^{5} + 2 x^{4} - 3 x^{3} + x^{2} - 1$ y $q (x) = x - 1$ .

Aplicamos el teorema del resto: $p (1) = 1^{5} + 2 \cdot 1^{4} - 3 \cdot 1^{3} + 1^{2} - 1 = 0$

Comprobamos el resultado por Ruffini:

	$1$	$2$	$- 3$	$1$	$0$	$- 1$
$1$		$1$	$3$	$0$	$1$	$2$
	$1$	$3$	$0$	$1$	$1$	$0$

Efectivamente, el resto es $0$ . Así pues, según el teorema del factor, la división de $p (x)$ por $q (x)$ es exacta.