Teorema del resto
El resto de dividir un polinomio $$p(x)$$ por otro de la forma $$x-a$$, coincide con el valor de $$p(a)$$.
Fijémonos que la división especificada cumple las hipótesis de la técnica de Ruffini.
Calcular el resto de la división $$\dfrac{p(x)}{q(x)}$$, siendo $$p(x)=x^4+3x^2-x+4$$ y $$q(x)=x+2$$.
Aplicamos el teorema del resto. Nótese que en este caso $$a=-2$$. $$$p(-2)=(-2)^4+3\cdot(-2)^2-(-2)+4=16+3\cdot4+2+4=34$$$
Para comprobarlo utilizamos Ruffini:
| $$1$$ | $$0$$ | $$3$$ | $$-1$$ | $$4$$ | |
| $$-2$$ | $$-2$$ | $$4$$ | $$-14$$ | $$30$$ | |
| $$1$$ | $$-2$$ | $$7$$ | $$-15$$ | $$34$$ |
Y efectivamente, coincide con la solución anterior.
Calcular el resto de la división $$\dfrac{p(x)}{q(x)}$$, siendo $$p(x)=x^5-2x^2+x+3$$ y $$q(x)=x+1$$.
Aplicamos el teorema del resto. Nótese que en este caso $$a=-1$$. $$$p(-1)=(-1)^5-2\cdot(-1)^2+(-1)+3=-1-2-1+3=-1$$$
Para comprobarlo utilizamos Ruffini:
| $$1$$ | $$0$$ | $$0$$ | $$-2$$ | $$1$$ | $$3$$ | |
| $$-1$$ | $$-1$$ | $$1$$ | $$-1$$ | $$3$$ | $$-4$$ | |
| $$1$$ | $$-1$$ | $$1$$ | $$-3$$ | $$4$$ | $$-1$$ |
Y efectivamente, coincide con la solución anterior.
Teorema del factor
Su enunciado es el siguiente:
Un polinomio $$p(x)$$ es divisible por otro de la forma $$x-a$$ si, y sólo si, $$p(a)=0$$. En este caso, diremos que $$a$$ es una raíz o cero del polinomio $$p(x)$$.
Calcular el resto de la división $$\dfrac{p(x)}{q(x)}$$, siendo $$p(x)=x^5+2x^4-3x^3+x^2-1$$ y $$q(x)=x-1$$.
Aplicamos el teorema del resto: $$$p(1)=1^5+2\cdot1^4-3\cdot1^3+1^2-1=0$$$
Comprobamos el resultado por Ruffini:
| $$1$$ | $$2$$ | $$-3$$ | $$1$$ | $$0$$ | $$-1$$ | |
| $$1$$ | $$1$$ | $$3$$ | $$0$$ | $$1$$ | $$2$$ | |
| $$1$$ | $$3$$ | $$0$$ | $$1$$ | $$1$$ | $$0$$ |
Efectivamente, el resto es $$0$$. Así pues, según el teorema del factor, la división de $$p(x)$$ por $$q(x)$$ es exacta.