Comprobar, sin encontrar explícitamente las raíces, cuáles de estos valores son raíces de los polinomios siguientes:
valores: $$1,-1,2,-2$$
polinomios:
$$p(x)=x^2-2x+1$$
$$q(x)=x^3-2x^2-4x+8$$
$$r(x)=x^2+1$$
Desarrollo:
Una condición necesaria y suficiente para que un valor $$a$$ sea raíz de un polinomio $$p(x)$$, es que $$p(a)=0$$. Entonces, vamos probando con los diferentes valores para cada polinomio:
$$p(1)=1^2-2\cdot1+1=0$$
$$p(-1)=(-1)^2+2\cdot1+1=4$$
$$p(2)=2^2-2\cdot2+1=1$$
$$p(-2)=(-2)^2+2\cdot2+1=9$$
$$q(1)=1^3-2\cdot1^2-4\cdot1+8=3$$
$$q(-1)=(-1)^3-2\cdot(-1)^2-4\cdot(-1)+8=-1-2+4+8=9$$
$$q(2)=2^3-2\cdot2^2-4\cdot2+8=0$$
$$q(-2)=(-2)^3-2\cdot(-2)^2-4\cdot(-2)+8=-8-8+8+8=0$$
$$r(1)=2$$
$$r(-1)=2$$
$$r(2)=5$$
$$r(-2)=5$$
Solución:
$$p(x)$$ tiene $$1$$ como raíz.
$$q(x)$$ tiene $$2$$ y $$-2$$ como raíz.
$$r(x)$$ no tiene ninguno de los valores de la lista como raíz. De hecho, no tiene ningún valor racional como raíz, por lo que es un polinomio irreductible.