Teorema del residu i teorema del factor

Teorema del residu

El residu de dividir un polinomi $p (x)$ per un altre de la forma $x - a$ , coincideix amb el valor de $p (a)$ .

Fixem-nos que la divisió especificada compleix les hipòtesis de la tècnica de Ruffini.

Exemple

Calcular el residu de la divisió $\frac{p (x)}{q (x)}$ , sent $p (x) = x^{4} + 3 x^{2} - x + 4$ i $q (x) = x + 2$ .

Apliquem el teorema del residu. Noteu que en aquest cas $a = - 2$ . $p (- 2) = (- 2)^{4} + 3 \cdot (- 2)^{2} - (- 2) + 4 = 16 + 3 \cdot 4 + 2 + 4 = 34$

Per comprovar-ho utilitzem Ruffini:

	$1$	$0$	$3$	$- 1$	$4$
$- 2$		$- 2$	$4$	$- 14$	$30$
	$1$	$- 2$	$7$	$- 15$	$34$

I efectivament, coincideix amb la solució anterior.

Exemple

Calcular el residu de la divisió $\frac{p (x)}{q (x)}$ , sent $p (x) = x^{5} - 2 x^{2} + x + 3$ i $q (x) = x + 1$ .

Apliquem el teorema del residu. Noteu que en aquest cas $a = - 1$ . $p (- 1) = (- 1)^{5} - 2 \cdot (- 1)^{2} + (- 1) + 3 = - 1 - 2 - 1 + 3 = - 1$

Per comprovar-ho utilitzem Ruffini:

	$1$	$0$	$0$	$- 2$	$1$	$3$
$- 1$		$- 1$	$1$	$- 1$	$3$	$- 4$
	$1$	$- 1$	$1$	$- 3$	$4$	$- 1$

I efectivament, coincideix amb la solució anterior.

Teorema del factor

El seu enunciat és el següent:

Un polinomi $p (x)$ és divisible per un altre de la forma $x - a$ si, i només si, $p (a) = 0$ . En aquest cas, direm que $a$ és una arrel o zero del polinomi $p (x)$ .

Exemple

Calcular el residu de la divisió $\frac{p (x)}{q (x)}$ , sent $p (x) = x^{5} + 2 x^{4} - 3 x^{3} + x^{2} - 1$ i $q (x) = x - 1$ .

Apliquem el teorema del residu: $p (1) = 1^{5} + 2 \cdot 1^{4} - 3 \cdot 1^{3} + 1^{2} - 1 = 0$

Comprovem el resultat per Ruffini:

	$1$	$2$	$- 3$	$1$	$0$	$- 1$
$1$		$1$	$3$	$0$	$1$	$2$
	$1$	$3$	$0$	$1$	$1$	$0$

Efectivament, el residu és $0$ . Així doncs, pel teorema del factor, la divisió de $p (x)$ per $q (x)$ és exacta.