Operacions amb monomis

Diem que dos monomis són semblants quan tenen la mateixa part literal. Per exemple:

Exemple

4x4y i 15x4y

Altres exemples de monomis semblants serien:

5x2yh i 67x2yh

x2 i 3x2

Noteu que l'ordre en què les variables apareixen en el monomi no té importància.

Suma de monomis

Només podem sumar monomis semblants. En aquest cas, el terme independent queda igual, i se sumen els coeficients.

Exemple

3x5y+2x5y=(3+2)x5y=5x5y

4x3+6x3=(4+6)x3=10x3

3xyh+11xyh=(3+11)xyh=14xyh

Diferència de monomis

Només podem restar monomis semblants. En aquest cas, el terme independent queda igual, i es resten els coeficients.

Exemple

3x5y2x5y=(32)x5y=1x5y=x5y

4x36x3=(46)x3=2x3

3xyh11xyh=(311)xyh=8xyh

Producte de monomis

El terme independent del producte és el producte de termes independents, i el coeficient del producte és el producte dels coeficients.

Exemple

Multipliquem els monomis 3x2y, 34zy

El producte dels coeficients serà 334=94

I el dels termes independents (x2y)(zy)=x2yzy=x2y2z

Pel que el resultat final serà 94x2y2z

Exemple

De la mateixa manera, si multipliquem 34x6z, 167z2y

El producte dels coeficients serà 34167=127

I el dels termes independents (x6z)(z2y)=x6zz2y=x6z3y

Pel que el resultat final serà 127x6z3y

Divisió de monomis

El terme independent de la divisió és el quocient entre el terme independent del numerador pel terme independent del denominador.

El coeficient de la divisió és el quocient entre el coeficient del numerador pel coeficient del denominador.

Exemple

3x2y2xy=32x2yxy=32x

3x2y2x4y=32x2yx4y=321x2

3x22xz=32x2xz=32xz

Com veiem als exemples, el resultat d'una divisió de monomis no sempre és un monomi. De vegades, com en el segon i el tercer exemple, tenim una incògnita en el denominador que no podem simplificar.

En general, trobarem dos tipus de resultats, depenent de les variables i dels seus exponents.

Així:

  • Mateixes variables i els exponents de cada variable del numerador són majors o iguals que els del denominador: el resultat és un monomi.

Exemple

x5z5x3z=15x5zx3z=15x2

7x3z5x3z=75x3zx3z=751=75

2h77h3=27h7h3=27h4

  • D'altra banda: el resultat és una fracció racional, que com hem vist, és un quocient entre dos monomis que no es pot reduir més. Vegem exemples de les dues situacions que ens poden portar a l'aparició d'una fracció racional.

Exemple

Idèntiques variables en el numerador i el denominador, però alguna d'elles amb un grau superior en el denominador.

xz2x3z=12xzx3z=121x2=12x2

3x3yx3y4=31x3yx3y4=31y3=3y3

4xx3=41xx3=41x2=4x2

Exemple

Existència d'una variable diferent al denominador.

4x4y23h=43x4y2h

2x53x6=23x5x6=231x=23x

1t

Noteu que en aquest últim cas el grau del monomi del numerador no importa per a res: per molt gran que sigui, si apareix una variable nova en el denominador, el resultat serà sempre una fracció racional.

Potència de monomis

Tant el terme independent com el quocient són el resultat d'elevar a l'exponent donat les variables i el coeficient del monomi original. Si el coeficient té més d'una variable, cal recordar que la potència d'un producte és el producte dels elements elevats a aquesta potència.

Exemple

(2x)2=22x2=4x2

(3xy2)3=33(xy2)3=27x3(y2)3=27x3y6

(12xyz3)4=(12)4(xyz3)4=124x4y4(z3)4=116x4y4z12

En el primer exemple de tots, hem de fixar-nos en què:

(2x)2=(2)2x2=4x2

Però

(2x)3=(2)3x3=8x3

És a dir, si un monomi amb coeficient negatiu està elevat a un exponent parell, el resultat serà positiu, si està elevat a un exponent senar, serà negatiu.

Vegem alguns exemples més:

(12xy2)5=(12)5(xy2)5=125x5y10=132x5y10

(12xy2)4=(12)4(xy2)4=124x4y8=116x4y8

(13x3h)3=(13)3(x3h)3=133x9h3=127x9h3

(13x3h)2=(13)2(x3h)2=132x6h2=19x6h2