Diem que dos monomis són semblants quan tenen la mateixa part literal. Per exemple:
$$4x^4y$$ i $$\dfrac{1}{5}x^4y$$
Altres exemples de monomis semblants serien:
$$5x^2yh$$ i $$\dfrac{6}{7}x^2yh$$
$$x^2$$ i $$3x^2$$
Noteu que l'ordre en què les variables apareixen en el monomi no té importància.
Suma de monomis
Només podem sumar monomis semblants. En aquest cas, el terme independent queda igual, i se sumen els coeficients.
$$3x^5y+2x^5y=(3+2)x^5y=5x^5y$$
$$4x^3+6x^3=(4+6)x^3=10x^3$$
$$3xyh+11xyh=(3+11)xyh=14xyh$$
Diferència de monomis
Només podem restar monomis semblants. En aquest cas, el terme independent queda igual, i es resten els coeficients.
$$3x^5y-2x^5y=(3-2)x^5y=1x^5y=x^5y$$
$$4x^3-6x^3=(4-6)x^3=-2x^3$$
$$3xyh-11xyh=(3-11)xyh=-8xyh$$
Producte de monomis
El terme independent del producte és el producte de termes independents, i el coeficient del producte és el producte dels coeficients.
Multipliquem els monomis $$3x^2y$$, $$\dfrac{3}{4}zy$$
El producte dels coeficients serà $$$3\cdot\dfrac{3}{4}=\dfrac{9}{4}$$$
I el dels termes independents $$$(x^2y)\cdot(zy)=x^2yzy=x^2y^2z$$$
Pel que el resultat final serà $$$\dfrac{9}{4}x^2y^2z$$$
De la mateixa manera, si multipliquem $$\dfrac{3}{4}x^6z$$, $$\dfrac{16}{7}z^2y$$
El producte dels coeficients serà $$$\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{16}{7}=\dfrac{12}{7}$$$
I el dels termes independents $$$(x^6z)\cdot(z^2y)=x^6zz^2y=x^6z^3y$$$
Pel que el resultat final serà $$$\dfrac{12}{7}x^6z^3y$$$
Divisió de monomis
El terme independent de la divisió és el quocient entre el terme independent del numerador pel terme independent del denominador.
El coeficient de la divisió és el quocient entre el coeficient del numerador pel coeficient del denominador.
$$\dfrac{3x^2y}{2xy}=\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{x^2y}{xy}=\dfrac{3}{2}x$$
$$\dfrac{3x^2y}{2x^4y}=\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{x^2y}{x^4y}=\dfrac{3}{2}\dfrac{1}{x^2}$$
$$\dfrac{3x^2}{2xz}=\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{x^2}{xz}=\dfrac{3}{2}\dfrac{x}{z}$$
Com veiem als exemples, el resultat d'una divisió de monomis no sempre és un monomi. De vegades, com en el segon i el tercer exemple, tenim una incògnita en el denominador que no podem simplificar.
En general, trobarem dos tipus de resultats, depenent de les variables i dels seus exponents.
Així:
- Mateixes variables i els exponents de cada variable del numerador són majors o iguals que els del denominador: el resultat és un monomi.
$$\dfrac{x^5z}{5x^3z}=\dfrac{1}{5}\cdot\dfrac{x^5z}{x^3z}=\dfrac{1}{5}x^2$$
$$\dfrac{7x^3z}{5x^3z}=\dfrac{7}{5}\cdot\dfrac{x^3z}{x^3z}=\dfrac{7}{5}\cdot1=\dfrac{7}{5}$$
$$\dfrac{2h^7}{7h^3}=\dfrac{2}{7}\cdot\dfrac{h^7}{h^3}=\dfrac{2}{7}h^4$$
- D'altra banda: el resultat és una fracció racional, que com hem vist, és un quocient entre dos monomis que no es pot reduir més. Vegem exemples de les dues situacions que ens poden portar a l'aparició d'una fracció racional.
Idèntiques variables en el numerador i el denominador, però alguna d'elles amb un grau superior en el denominador.
$$\dfrac{xz}{2x^3z}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{xz}{x^3z}=\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{x^2}=\dfrac{1}{2x^2}$$
$$\dfrac{3x^3y}{x^3y^4}=\dfrac{3}{1}\cdot\dfrac{x^3y}{x^3y^4}=3\cdot\dfrac{1}{y^3}=\dfrac{3}{y^3}$$
$$\dfrac{4x}{x^3}=\dfrac{4}{1}\cdot\dfrac{x}{x^3}=4\cdot\dfrac{1}{x^2}=\dfrac{4}{x^2}$$
Existència d'una variable diferent al denominador.
$$\dfrac{4x^4y^2}{3h}=\dfrac{4}{3}\cdot\dfrac{x^4y^2}{h}$$
$$\dfrac{2x^5}{3x^6}=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{x^5}{x^6}=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{1}{x}=\dfrac{2}{3x}$$
$$\dfrac{1}{t}$$
Noteu que en aquest últim cas el grau del monomi del numerador no importa per a res: per molt gran que sigui, si apareix una variable nova en el denominador, el resultat serà sempre una fracció racional.
Potència de monomis
Tant el terme independent com el quocient són el resultat d'elevar a l'exponent donat les variables i el coeficient del monomi original. Si el coeficient té més d'una variable, cal recordar que la potència d'un producte és el producte dels elements elevats a aquesta potència.
$$(2x)^2=2^2\cdot x^2=4x^2$$
$$(3xy^2)^3=3^3\cdot(xy^2)^3=27\cdot x^3 \cdot (y^2)^3=27x^3y^6$$
$$(\dfrac{1}{2}xyz^3)^4=(\dfrac{1}{2})^4\cdot(xyz^3)^4=\dfrac{1}{2^4}\cdot x^4\cdot y^4\cdot(z^3)^4=\dfrac{1}{16}\cdot x^4\cdot y^4\cdot z^{12}$$
En el primer exemple de tots, hem de fixar-nos en què:
$$(-2x)^2=(-2)^2\cdot x^2=4x^2$$
Però
$$(-2x)^3=(-2)^3\cdot x^3=-8x^3$$
És a dir, si un monomi amb coeficient negatiu està elevat a un exponent parell, el resultat serà positiu, si està elevat a un exponent senar, serà negatiu.
Vegem alguns exemples més:
$$(-\dfrac{1}{2}xy^2)^5=(-\dfrac{1}{2})^5\cdot(xy^2)^5=-\dfrac{1}{2^5}\cdot x^5\cdot y^{10}=-\dfrac{1}{32}\cdot x^5\cdot y^{10}$$
$$(-\dfrac{1}{2}xy^2)^4=(-\dfrac{1}{2})^4\cdot(xy^2)^4=\dfrac{1}{2^4}\cdot x^4\cdot y^8=\dfrac{1}{16}\cdot x^4\cdot y^8$$
$$(-\dfrac{1}{3}x^3h)^3=(-\dfrac{1}{3})^3\cdot(x^3h)^3=-\dfrac{1}{3^3}\cdot x^9\cdot h^3=-\dfrac{1}{27}\cdot x^9\cdot h^3$$
$$(-\dfrac{1}{3}x^3h)^2=(-\dfrac{1}{3})^2\cdot(x^3h)^2=\dfrac{1}{3^2}\cdot x^6\cdot h^2=\dfrac{1}{9}\cdot x^6\cdot h^2$$