Raíz y factorización de un polinomio

Concepto de raíz

La raíz o cero de un polinomio $p (x)$ es un valor $a$ tal que $p (a) = 0$

Los matemáticos, a lo largo de la historia, siempre han estado fascinados por encontrar las raíces de un polinomio cualquiera. En general, este problema es muy complicado.

Con todo, a partir del teorema del resto y del teorema del factor, podemos deducir algunas propiedades sobre las raíces de un polinomio:

1) Las raíces de un polinomio son divisores del término independiente. Si no tiene término independiente, significa que es divisible por $x - a$ , siendo $a = 0$ , esto es, es divisible por $x$ .

Ejemplo

$p (x) = x^{5} + 2 x^{4} - 3 x^{3} + x^{2} - 1$ tiene como raíz $1$ , $p (1) = 1^{5} + 2 \cdot 1^{4} - 3 \cdot 1^{3} + 1^{2} - 1 = 0$ y efectivamente $1$ divide al término independiente $- 1$ .

Ejemplo

El polinomio $p (x) = 2 x^{5} + 5 x^{4} + 4 x^{3} - x^{2} + x$ tiene el término independiente nulo.

Entonces, por el teorema del factor, $0$ es una raíz de $p (x)$ y por lo tanto $x - 0 = x$ divide exactamente al polinomio $p (x)$ .

2) Siendo $a_{i}$ las $i$ raíces de un polinomio, podemos expresar dicho polinomio como producto de polinomios de la forma $x - a_{i}$ .

Ejemplo

El polinomio $p (x) = x^{2} - 3 x + 2$ tiene como raíces $x = 2$ y $x = 1$ . Por lo tanto, se puede expresar como $p (x) = (x - 2) \cdot (x - 1)$

Ejemplo

El polinomio $p (x) = x^{2} + 5 x + 6$ tiene como raíces $x = - 2$ y $x = - 3$ . Por lo tanto, se puede expresar como $p (x) = (x + 2) \cdot (x + 3)$

3) Un polinomio se llama irreductible o primo si no tiene ningún número racional que sea raíz.

Ejemplo

Los polinomios $p (x) = x^{2} + x + 1$ y $q (x) = x^{2} + 1$ no tienen ninguna raíz en los números racionales.

Factorización de un polinomio

El proceso de factorización de un polinomio consiste en encontrar todas sus raíces.

Existen diferentes técnicas para encontrar las raíces de un polinomio. A continuación explicaremos las más destacadas:

Uso de identidades notables

La idea es utilizar las identidades notables pero al revés. Por ejemplo, si sabemos que: $(a - b) \cdot (a + b) = a^{2} - b^{2}$ Está claro que lo podemos aplicar al revés: $a^{2} - b^{2} = (a - b) \cdot (a + b)$ Por lo tanto, si tenemos un polinomio como el siguiente $x^{2} - 16$ que si nos fijamos es $x^{2} - 4^{2}$ Aplicando la fórmula $x^{2} - 16 = x^{2} - 4^{2} = (x - 4) (x + 4)$ Esto es, $4$ y $- 4$ son las raíces del polinomio $x^{2} - 16$ .

Ejemplo

Factorizar el polinomio $x^{2} - 6 x + 9$ .

Si nos fijamos un poco, vemos que el polinomio anterior corresponde a un cuadrado de la diferencia: $x^{2} - 6 x + 9 = x^{2} - 2 \cdot 3 \cdot x + 3^{2} = (x - 3)^{2}$ Por lo tanto, el polinomio tiene $x = 3$ como raíz.

Ejemplo

Factorizar el polinomio $x^{3} + 12 x^{2} + 48 x + 64$ .

Si nos fijamos, vemos que el polinomio anterior corresponde al cubo de una suma: $x^{3} + 12 x^{2} + 48 x + 64 = x^{3} + 3 \cdot 4 \cdot x^{2} + 3 \cdot 4^{2} x + 4^{3} = (x + 4)^{3}$ Por lo tanto, el polinomio tiene $x = - 4$ como raíz.

Uso de las fórmulas para solucionar ecuaciones cuadráticas

Si tenemos un polinomio $p (x)$ de grado $2$ , podemos igualarlo a $0$ y encontrar la solución de la ecuación cuadrática $p (x) = 0$ .

Dichos valores solución serán las raíces del polinomio $p (x)$ .

Ejemplo

Factorizar el polinomio $x^{2} - x - 2$ .

Debemos solucionar la siguiente ecuación $x^{2} - x - 2 = 0$ .

Aplicamos la fórmula para encontrar las raíces de una ecuación cuadrática $x = \frac{- (- 1) \pm \sqrt{(- 1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2} = {\begin{matrix} \frac{1 + 3}{2} = 2 \\ \frac{1 - 3}{2} = - 1 \end{matrix}$

Por lo tanto, el polinomio tiene $x = 2$ y $x = - 1$ como raíces.

Ejemplo

Factorizar el polinomio $x^{2} + x - 6$ .

Debemos solucionar la siguiente ecuación $x^{2} + x - 6 = 0$ .

Aplicamos la fórmula para encontrar las raíces de una ecuación cuadrática $x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{2} = {\begin{matrix} \frac{1 + 5}{2} = 3 \\ \frac{1 - 5}{2} = - 2 \end{matrix}$

Por lo tanto, el polinomio tiene $x = 3$ y $x = - 2$ como raíces.

Uso de las fórmulas para solucionar ecuaciones bicuadráticas

Si tenemos un polinomio $p (x)$ de grado $4$ y exponentes pares, podemos igualarlo a $0$ y encontrar la solución de la ecuación bicuadrática $p (x) = 0$ .

Dichos valores solución serán las raíces del polinomio $p (x)$ .

Ejemplo

Factorizar el polinomio $x^{4} - 5 x^{2} + 4$ .

Debemos solucionar la siguiente ecuación $x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$ .

Realizamos el cambio de variable $x^{2} = t$ $t^{2} - 5 t + 4 = 0$

Aplicamos la fórmula para encontrar las raíces de una ecuación cuadrática $x = \frac{- (- 5) \pm \sqrt{(- 5)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{2} = {\begin{matrix} \frac{5 + 3}{2} = 4 \\ \frac{5 - 3}{2} = 1 \end{matrix}$

Ahora deshacemos el cambio: $x^{2} = 4 \Rightarrow {\begin{matrix} x = 2 \\ x = - 2 \end{matrix}$ $x^{2} = 1 \Rightarrow {\begin{matrix} x = 1 \\ x = - 1 \end{matrix}$

Por lo tanto, el polinomio tiene $x = 2, x = - 2, x = 1$ y $x = - 1$ como raíces.

Ejemplo

Factorizar el polinomio $x^{4} - 10 x^{2} + 9$ .

Debemos solucionar la siguiente ecuación $x^{4} - 10 x^{2} + 9 = 0$ .

Realizamos el cambio de variable $x^{2} = t$ $t^{2} - 10 t + 9 = 0$

Aplicamos la fórmula para encontrar las raíces de una ecuación cuadrática $x = \frac{- (- 10) \pm \sqrt{(- 10)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1} = \frac{10 \pm \sqrt{64}}{2} = {\begin{matrix} \frac{10 + 8}{2} = 9 \\ \frac{10 - 8}{2} = 1 \end{matrix}$

Ahora deshacemos el cambio: $x^{2} = 9 \Rightarrow {\begin{matrix} x = 3 \\ x = - 3 \end{matrix}$ $x^{2} = 1 \Rightarrow {\begin{matrix} x = 1 \\ x = - 1 \end{matrix}$

Por lo tanto, el polinomio tiene $x = 3, x = - 3, x = 1$ y $x = - 1$ como raíces.

Uso del teorema del factor

Para polinomios de grado superior, nuestra única herramienta es utilizar el teorema del factor.

De esta manera, para encontrar las raíces de un polinomio solamente hará falta que evaluemos el polinomio para los valores de $x$ que sean divisores del término independiente, y los valores en que la expresión resulte nula, serán las raíces del polinomio. Con unos ejemplos visualizaremos el procedimiento:

Ejemplo

Factorizar el polinomio $p (x) = x^{2} - 3 x + 2$ .

Tal y como dicen las propiedades del teorema del factor, si $a$ es raíz de $p (x)$ , entonces $p (a) = 0$ .

Ahora bien, qué valor toma $a$ ? Existe una propiedad que nos será extremadamente útil:

Si $a$ es una raíz de $p (x)$ , $a$ es un divisor del término independiente de $p (x)$ .

En nuestro caso, los divisores del término independiente del polinomio (de valor $2$ ) son: $1, - 1, 2, - 2$ Por lo tanto, solamente hace falta evaluar dichos valores en el polinomio y aplicar el teorema del factor:

$p (1) = 1^{2} - 3 \cdot 1 + 2 = 0$

$p (- 1) = (- 1)^{2} - 3 \cdot (- 1) + 2 = 6$

$p (2) = 2^{2} - 3 \cdot 2 + 2 = 0$

$p (- 2) = (- 2)^{2} - 3 \cdot (- 2) + 2 = 12$

Así pues, las raíces de $p (x)$ son $x = 1$ y $x = 2$ .

Ejemplo

Factorizar el polinomio $p (x) = x^{2} + 6 x - 7$ .

Los divisores del término independiente del polinomio (de valor $7$ ) son: $1, - 1, 7, - 7$ Por lo tanto, solamente hace falta evaluar dichos valores en el polinomio y aplicar el teorema del factor:

$p (1) = 1^{2} + 6 \cdot 1 - 7 = 0$

$p (- 1) = (- 1)^{2} + 6 \cdot (- 1) - 7 = - 12$

$p (7) = 7^{2} + 6 \cdot 7 - 7 = 84$

$p (- 7) = (- 7)^{2} + 6 \cdot (- 7) - 7 = 0$

Así pues, las raíces de $p (x)$ son $x = 1$ y $x = - 7$ .