En quan sabem que una funció pot tendir a infinit ens plantegem el fet que algunes funcions tendeixen a infinit molt més ràpid que altres i per tant, un infinit pot ser major que un altre no per ser més gran sinó per ser assolit abans per la funció.
Un bon exemple pot ser el següent:
Prenguem les funcions $$f(x)=e^x$$ i $$g(x)=\ln x$$.
Si les representem gràficament observarem que la funció exponencial creix molt ràpid mentre que la funció logaritme té un creixement molt lent. Les dues arriben a l'infinit, però la funció exponencial arriba a l'infinit molt més ràpid que la logarítmica, de manera que diem que l'infinit de la funció exponencial és més gran que el del logaritme.
Funció exponencial:
Funció logaritme:
Llavors, com distingim si una funció tendeix a infinit més ràpidament que una altra funció?
Aquesta qüestió es resol utilitzant la divisió de funcions:
Suposem que $$\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{f(x)}= \pm \infty$$ i que $$\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{g(x)}=\pm \infty$$.
Diem que l'infinit de $$f(x)$$ és un infinit d'ordre superior al de $$g(x)$$ si:
$$$\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\frac{f(x)}{g(x)}}= \pm \infty$$$
o equivalentment si:
$$$\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\frac{g(x)}{f(x)}}=0$$$
En cas que:
$$$\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\frac{f(x)}{g(x)}=k}$$$
on $$k$$ és un valor real, llavors diem que els infinits de les dues funcions són equivalents o del mateix tipus.
Vegem com es comporten les funcions potència, exponencial i logarítmica al respecte:
- Donades dues potències de $$x$$, la de major exponent té un infinit d'ordre superior, si:
$$$n>k \Rightarrow \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\frac{x^n}{x^k}}=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{x^{n-k}}=+\infty$$$
on $$n$$ i $$k$$ poden ser valors reals positius.
$$$\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\frac{x^5}{\sqrt[2]{x^5}}}=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\frac{x^5}{x^{\frac{5}{2}}}}=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{x^{\frac{5}{2}}}=+\infty$$$
En cas de tenir el mateix exponent en les dues potències obtindrem que:
$$$\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\frac{ax^n}{b^n}}=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\frac{a}{b}}=\frac{a}{b}$$$
Per tant, si tenim un límit de divisió de polinomis, com sabem que l'infinit major vindrà donat per la potència més gran, podrem calcular el límit fixant-nos només en quin dels dos polinomis està aquesta potència més gran.
Vegem alguns exemples més:
$$$\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\frac{2x^3+2x^2-x+1}{x^4+44x^3-320x^2+x+3}}=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\frac{2x^3}{x^4}}=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\frac{2}{x}}=0$$$
$$$\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\frac{x^2+3x^3-x+1}{x+3x^2+6x^3}}=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\frac{3x^3}{6x^3}}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$$$
$$$\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\frac{x^3-x^4}{x^2+x}}\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\frac{-x^4}{x^2}}=-\infty$$$
$$$\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\frac{x^3+2x-1}{x^2}}=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\frac{x^3}{x^2}}=-\infty$$$
- Donades dues funcions exponencials de bases majors que $$1$$, la de major base serà un infinit d'ordre superior, si $$a>b>0$$ llavors:
$$$\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\frac{a^x}{b^x}}=+\infty$$$
Vegem alguns exemples:
$$$\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\frac{2^x}{1000 \cdot 1,5^x}}=+\infty$$$
$$$\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\frac{2^x+e^x-4^x}{2^x-4,01^x}}=0$$$
A més, qualsevol funció exponencial de base més gran que $$1$$ és un infinit d'ordre superior a qualsevol potència: si $$a>1$$ i $$n<0$$ aleshores:
$$$\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\frac{a^x}{x^n}}=+ \infty$$$
Vegem alguns exemples:
$$$\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\frac{x^{200}}{1,01^x}}=0$$$
$$$\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\frac{x^2+3^x}{x^3+2^x}}=+\infty$$$
- Donades dues funcions logarítmiques de base més gran que $$1$$, els infinits corresponents són sempre equivalents (o del mateix ordre).
Això vol dir que si $$a>1$$ i $$b>1$$ aleshores:
$$$\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\frac{\log_{a} x}{\log_{b}x}}=k$$$
on $$k$$ és un valor real.
A més, qualsevol funció potència és un infinit d'ordre superior a qualsevol funció logarítmica (i per tant qualsevol a una funció exponencial també).
- Acabem comentant que si en una suma hi ha diversos tipus de sumands infinits, l'ordre de la suma és el del sumant de major ordre:
$$$\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\frac{2+2x-2^x+\log_{2}x+x^2}{\log_{4}x+4+4^x+4x}}=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\frac{-2^x}{4^x}}=0$$$