Composició de funcions

En el conjunt de les funcions reals de variable real podem definir una altra operació absolutament diferent anomenada composició de funcions.

Exemple

Considerem les funcions $f (x) = x + 3$ i $g (x) = x^{2} - 1$ , i un nombre real, per exemple $x = 2$ .

Podem calcular la imatge de $2$ per $f$ i obtenim $f (2) = 5$ .

A continuació podem calcular la imatge de $5$ per $g$ i obtenim $g (5) = g (f (2)) = 24$

En general, donades dues funcions $f$ i $g$ , la funció que assigna a cada $x$ el valor de $g (f (x))$ s'anomena funció composta de $f$ i $g$ i es denota per $g \circ f$ (es llegeix $f$ composta amb $g$ ).

Per tant:

$(g \circ f) (x) = g (f (x))$

La funció $g \circ f$ està definida quan $x$ pertany al domini de $f$ i $f (x)$ pertany al domini de $g$ . És a dir, $D o m (g \circ f) = {x \in D o m (f) ∣ f (x) \in D o m (g)} =$

$= D o m (f) - {x \in R ∣ f (x) \notin D o m (g)}$

Exemple

Donades les funcions $f (x) = x + 3$ i $g (x) = x^{2} - 1$ , calcula les funcions $(g \circ f)$ i $(f \circ g)$ , i determina el seu domini.

$(g \circ f) (x) = g (f (x)) = g (x + 3) = (x + 3)^{2} - 1 =$

$= x^{2} + 6 x + 9 - 1 = x^{2} + 6 x + 8$

i ja que $D o m (f) = D o m (g) = R$ , es té:

$D o m (g \circ f) = R$

$(f \circ g) (x) = f (g (x)) = f (x^{2} - 1) = x^{2} - 1 + 3 = x^{2} + 2$

Com en el cas anterior, $D o m (f \circ g) = R$

Observem que són dues funcions diferents, és a dir, la composició de funcions no és commutativa.