En el conjunt de les funcions reals de variable real podem definir una altra operació absolutament diferent anomenada composició de funcions.
Considerem les funcions $$f (x) = x + 3$$ i $$g (x)=x^2-1$$, i un nombre real, per exemple $$x = 2$$.
Podem calcular la imatge de $$2$$ per $$f$$ i obtenim $$f (2) = 5$$.
A continuació podem calcular la imatge de $$5$$ per $$g$$ i obtenim $$g (5) = g (f (2)) = 24$$
En general, donades dues funcions $$f$$ i $$g$$, la funció que assigna a cada $$x$$ el valor de $$g (f (x))$$ s'anomena funció composta de $$f$$ i $$g$$ i es denota per $$g\circ f$$ (es llegeix $$f$$ composta amb $$g$$).
Per tant:
$$$(g \circ f) (x) = g (f (x))$$$
La funció $$g \circ f$$ està definida quan $$x$$ pertany al domini de $$f$$ i $$f(x)$$ pertany al domini de $$g$$. És a dir, $$$Dom( g\circ f)=\{x \in Dom(f) \mid f(x) \in Dom(g) \}=$$$
$$$=Dom(f)-\{x \in \mathbb{R} \mid f(x) \notin Dom(g)\}$$$
Donades les funcions $$f (x) = x + 3$$ i $$g (x) =x^2-1$$, calcula les funcions $$(g \circ f)$$ i $$(f \circ g)$$, i determina el seu domini.
$$$(g \circ f) (x) = g (f (x)) = g (x + 3) =(x+3)^2-1=$$$
$$$= x^2+6x+9-1=x^2+6x+8$$$
i ja que $$Dom (f) = Dom (g) =\mathbb{R}$$, es té:
$$$Dom (g \circ f) = \mathbb{R}$$$
$$$(f \circ g) (x) = f (g (x)) = f(x^2-1) = x^2-1+3= x^2+2$$$
Com en el cas anterior, $$$Dom (f \circ g) =\mathbb{R}$$$
Observem que són dues funcions diferents, és a dir, la composició de funcions no és commutativa.