En el conjunto de las funciones reales de variable real podemos definir otra operación absolutamente distinta llamada composición de funciones.
Consideremos las funciones $$f(x) = x + 3$$ y $$g (x)=x^2-1$$, y un número real, por ejemplo $$x = 2$$.
Podemos calcular la imagen de $$2$$ por $$f$$ y obtenemos $$f (2) = 5$$.
A continuación podemos calcular la imagen de $$5$$ por $$g$$ y obtenemos $$g (5) = g (f (2)) = 24$$
En general, dadas dos funciones $$f$$ y $$g$$, la función que asigna a cada $$x$$ el valor de $$g (f (x))$$ se llama función compuesta de $$f$$ y $$g$$ y se denota por $$g\circ f$$ (se lee $$f$$ compuesta con $$g$$).
Por tanto:
$$$(g \circ f) (x) = g (f (x))$$$
La función $$g \circ f$$ está definida cuando $$x$$ pertenece al dominio de $$f$$ y $$f(x)$$ pertenece al dominio de $$g$$. Es decir, $$$Dom( g\circ f)=\{x \in Dom(f) \mid f(x) \in Dom(g) \}=$$$
$$$=Dom(f)-\{x \in \mathbb{R} \mid f(x) \notin Dom(g)\}$$$
Dadas las funciones $$f (x) = x + 3$$ y $$g (x) =x^2-1$$, calcula las funciones $$(g \circ f)$$ y $$(f \circ g)$$, y determina su dominio.
$$$(g \circ f) (x) = g (f (x)) = g (x + 3) =(x+3)^2-1=$$$
$$$= x^2+6x+9-1=x^2+6x+8$$$
y puesto que $$Dom (f) = Dom (g) =\mathbb{R}$$, se tiene:
$$$Dom (g \circ f) = \mathbb{R}$$$
$$$(f \circ g) (x) = f (g (x)) = f(x^2-1) = x^2-1+3= x^2+2$$$
Como en el caso anterior,
$$$Dom (f \circ g) =\mathbb{R}$$$
Observamos que son dos funciones distintas, es decir, la composición de funciones no es conmutativa.