Composición de funciones

En el conjunto de las funciones reales de variable real podemos definir otra operación absolutamente distinta llamada composición de funciones.

Ejemplo

Consideremos las funciones $f (x) = x + 3$ y $g (x) = x^{2} - 1$ , y un número real, por ejemplo $x = 2$ .

Podemos calcular la imagen de $2$ por $f$ y obtenemos $f (2) = 5$ .

A continuación podemos calcular la imagen de $5$ por $g$ y obtenemos $g (5) = g (f (2)) = 24$

En general, dadas dos funciones $f$ y $g$ , la función que asigna a cada $x$ el valor de $g (f (x))$ se llama función compuesta de $f$ y $g$ y se denota por $g \circ f$ (se lee $f$ compuesta con $g$ ).

Por tanto:

$(g \circ f) (x) = g (f (x))$

La función $g \circ f$ está definida cuando $x$ pertenece al dominio de $f$ y $f (x)$ pertenece al dominio de $g$ . Es decir, $D o m (g \circ f) = {x \in D o m (f) ∣ f (x) \in D o m (g)} =$

$= D o m (f) - {x \in R ∣ f (x) \notin D o m (g)}$

Ejemplo

Dadas las funciones $f (x) = x + 3$ y $g (x) = x^{2} - 1$ , calcula las funciones $(g \circ f)$ y $(f \circ g)$ , y determina su dominio.

$(g \circ f) (x) = g (f (x)) = g (x + 3) = (x + 3)^{2} - 1 =$

$= x^{2} + 6 x + 9 - 1 = x^{2} + 6 x + 8$

y puesto que $D o m (f) = D o m (g) = R$ , se tiene:

$D o m (g \circ f) = R$

$(f \circ g) (x) = f (g (x)) = f (x^{2} - 1) = x^{2} - 1 + 3 = x^{2} + 2$

Como en el caso anterior,

$D o m (f \circ g) = R$

Observamos que son dos funciones distintas, es decir, la composición de funciones no es conmutativa.