Exercicis de Continuïtat en un interval tancat i teorema de Weierstrass

Dir si es compleix el teorema de Weierstrass en els següents exemples i trobar el màxim absolut i el mínim absolut en l'últim cas:

a) $f (x) = \sqrt{x}$ definida en l'interval $[- 2, 3.4]$

b) $f (x) = \frac{2^{\sqrt{x} - \ln x}}{4 x^{2} + 5 + e^{x}}$ definida en l'interval $[1, 4.666666 \dots]$

c) $f (x) = 3 x^{3} + x$ definida en l'interval $(2, 4)$

d) $f (x) = x^{2} + 1$ definida en l'interval $[0, 1]$

Veure desenvolupament i solució

Desenvolupament:

a) Tenim una funció contínua definida en un interval tancat.

b) Tenim una funció contínua ja que per als punts on està definida no hi ha cap divisió per zero i no avaluem el logaritme en punts menors o iguals a zero i a més està definida en un interval tancat.

c) L'interval no és tancat.

d) Tenim una funció contínua definida en un interval tancat. A més, la funció és estrictament creixent en el seu interval de definició de manera que trobarem els màxims i mínims absoluts en els extrems.

Observem doncs que: $f (0) = 1$ i $f (1) = 2$ , pel que en $x = 0$ tenim mínim aboslut i en $x = 1$ tenim màxim absolut.

Solució:

a) Es compleix el teorema.

b) Es compleix el teorema.

c) No es compleix el teorema.

d) Es compleix el teorema i tenim mínim absolut en $x = 0$ i màxim absolut en $x = 1$ .

Amagar desenvolupament i solució