Exercicis de Continuïtat en un interval tancat i teorema de Weierstrass

Dir si es compleix el teorema de Weierstrass en els següents exemples i trobar el màxim absolut i el mínim absolut en l'últim cas:

a) $$f(x)= \sqrt{x}$$ definida en l'interval $$[-2,3.4]$$

b) $$\displaystyle f(x)=\frac{2^{\sqrt{x}-\ln x}}{4x^2+5+e^x}$$ definida en l'interval $$[1,4.666666\ldots]$$

c) $$\displaystyle f(x)=3x^3+x$$ definida en l'interval $$(2,4)$$

d) $$f(x)=x^2+1$$ definida en l'interval $$[0,1]$$

Veure desenvolupament i solució

Desenvolupament:

a) Tenim una funció contínua definida en un interval tancat.

b) Tenim una funció contínua ja que per als punts on està definida no hi ha cap divisió per zero i no avaluem el logaritme en punts menors o iguals a zero i a més està definida en un interval tancat.

c) L'interval no és tancat.

d) Tenim una funció contínua definida en un interval tancat. A més, la funció és estrictament creixent en el seu interval de definició de manera que trobarem els màxims i mínims absoluts en els extrems.

Observem doncs que: $$f(0)=1$$ i $$f(1)=2$$, pel que en $$x=0$$ tenim mínim aboslut i en $$x=1$$ tenim màxim absolut.

Solució:

a) Es compleix el teorema.

b) Es compleix el teorema.

c) No es compleix el teorema.

d) Es compleix el teorema i tenim mínim absolut en $$x=0$$ i màxim absolut en $$x=1$$.

Amagar desenvolupament i solució
Veure teoria