Continuïtat en un interval tancat i teorema de Weierstrass

Donada una funció $f (x)$ definida en un interval $[a, b]$ (interval tancat), diem que és contínua si la funció és contínua en tot l'interval $(a, b)$ (interval obert) i els límits laterals en els punts $a, b$ corresponents coincideixen amb el valor de la funció.

És a dir: $lim_{x \to p^{\pm}} f (x) = f (p) per a tot p de l'interval obert (a, b) lim_{x \to a^{+}} f (x) = f (a) i lim_{x \to b^{-}} f (x) = f (b)$

És lògic que només exigim que els límits laterals coincideixin amb la funció en els punts $a, b$ d'una banda ja que la funció no està definida fora de l'interval $[a, b]$ i no tindria sentit parlar del límit lateral per l'esquerra de la funció en el punt $a$ o el seu corresponent límit en $b$ .

Exemple

Estudiar la continuïtat de la funció $f (x) = x^{2} - 1$ on $x$ pertany a $[0, 1]$ .

Continuïtat en $(0, 1)$ : $\begin{array}{l} lim_{x \to a^{+}} x^{2} - 1 = (a^{+})^{2} - 1 = a^{2} - 1 \\ lim_{x \to a^{-}} x^{2} - 1 = (a^{-})^{2} - 1 = a^{2} - 1 \\ f (a) = a^{2} - 1 \end{array}$ de manera que la funció és contínua en l'interval obert $(0, 1)$ .

Mirem ara en els extrems: $\begin{array}{l} lim_{x \to 0^{+}} x^{2} - 1 = - 1 i f (0) = - 1 \\ lim_{x \to 1^{-}} x^{2} - 1 = 0 i f (1) = 0 \end{array}$ on observem que els límits i la funció coincideixen. Així que la funció és contínua en els extrems.

Per tant, la funció és contínua en l'interval $[0, 1]$ .

Teorema de Weierstrass

Sigui una funció $f (x)$ contínua definida en un interval $[a, b]$ .

Llavors hi ha dos punts $x_{m a x}$ i $x_{m i n}$ pertanyents a l'interval $[a, b]$ on la funció $f (x)$ arriba a valors extrems absoluts (un màxim i un mínim absolut), per la qual cosa es compleix que: $f (x_{m i n}) \leq f (x) \leq f (x_{m a x})$ per a tot $x$ pertanyent a l'interval $[a, b]$ .

Aquest teorema pot semblar més una propietat ja que és molt intuïtiu el fet que si tens una funció contínua definida en un interval tancat sempre hi haurà un màxim i un mínim absolut de la funció.

Observem que si la nostra funció $f (x)$ no presenta màxims relatius (o mínims relatius) significarà que trobarem el màxim absolut (o el mínim absolut) localitzat en un dels extrems de l'interval (o en els dos).

Si la nostra funció sí que té màxims o mínims relatius, haurem de comparar igualment amb el valor de la nostra funció en els extrems de l'interval, ja que podria ser que aquest valor fos el màxim o mínim absolut.

Vegem alguns exemples:

Exemple

Sigui la funció $f (x) = x$ definida en l'interval $[1, 4]$ .

La funció $f (x) = x$ és una funció estrictament creixent, de manera que s'aconsegueix el màxim en el punt màxim de l'interval, que és en $x = 4$ .

Pel mateix motiu, arriba al mínim en el punt mínim de l'interval ( $x = 1$ ).

Exemple

Sigui la funció $f (x) = - x^{2} + 1$ definida en l'interval $[- 2, 1]$ .

Aquesta funció té un màxim relatiu en el punt $x = 0$ , i en el seu interval de definició, com que no hi ha un altre màxim, aquest és el màxim absolut.

Per altra banda no presenta cap mínim relatiu, llavors trobarem el mínim absolut en algun dels extrems de l'interval.

En aquest cas $f (- 2) = - 1$ i $f (1) = 0$ , de manera que tenim un mínim absolut en $x = - 2$ .

Observació: El teorema no és cert si no tenim un interval tancat.

Vegem un exemple on no es compleix.

Exemple

Sigui la funció $f (x) = x$ definida en l'interval $[0, 1)$ .

La funció $f (x) = x$ és una funció estrictament creixent, de manera que s'aconsegueix el màxim en el punt màxim de l'interval.

Però com resulta que el nostre interval està obert per la part superior, no tenim un valor màxim d'aquest i per tant, no hi ha un màxim absolut.