Teorema de Bolzano

Sigui una funció $f (x)$ contínua definida en un interval $[a, b]$ .

Llavors si es compleix que $f (a) \cdot f (b) < 0$ (és a dir, $f (a) < 0$ i $f (b) > 0$ , o $f (a) > 0$ i $f (b) < 0$ ), hi ha almenys un punt $c$ pertanyent a $(a, b)$ tal que $f (c) = 0$ .

Aquest teorema pot resultar molt intuïtiu ja que si tenim una funció contínua que en $f (a)$ és negativa (per sota de l'eix de les $x$ ) i en $f (b)$ és positiva (per sobre de l'eix de les $x$ ), o a l'inrevés, com la funció és contínua, han d'estar connectats els punts $f (a)$ i $f (b)$ , de manera que la gràfica no tindrà més remei que creuar l'eix de les $x$ , i per tant existirà un valor $c$ en el seu interval de definició on $f (c) = 0$ .

Vegem un exemple de l'aplicació del teorema:

Exemple

Prenguem la funció $f (x) = x - \ln^{2} x$ definida en l'interval $[0.1, 0.5]$ i ens preguntem si té algun zero dins de l'interval de definició.

Observem que: $\begin{array}{l} f (0.1) = - 5.201898111 < 0 \\ f (0.5) = 0.0195469860 > 0 \end{array}$

Com l'interval és tancat i la funció contínua, es compleixen les hipòtesis del teorema de Bolzano i per tant podem aplicar-lo.

El teorema ens diu que hi ha un cert valor $c$ pertanyent a l'interval $[0.1, 0.5]$ tal que $f (c) = 0$ .

Per tant es complirà que $0 = f (c) = c - \ln^{2} c$ , o $c = \ln^{2} c$ .

Fixem-nos que hem trobat l'existència d'una solució en l'interval $[0.1, 0.5]$ de l'equació $x = \ln^{2} x$ la qual a priori no sabíem solucionar.

Exemple

Anem a veure si hi ha solucions de l'equació $x^{3} + \ln x = - \sqrt{x}$ .

Per això considerarem la funció $f (x) = x^{3} + \ln x + \sqrt{x}$ .

Si trobem dos punts $a$ i $b$ on $f (a) \cdot f (b) < 0$ , significarà que hi haurà cert valor $c$ comprès entre $a$ i $b$ tal que serà solució de la nostra equació.

Si $a = 0.1 ⟹ f (0.1) = {0.1}^{3} + \ln 0.1 + \sqrt{0.1} = - 1.985357 < 0$

Si $b = 1 ⟹ f (1) = 1^{3} + \ln 1 + \sqrt{1} = 2 > 0$

Per tant, en l'interval $[0.1, 1]$ hi ha almenys un punt $c$ tal que $f (c) = 0$ i per tant es compleixi la nostra equació (ja que $0 = f (c) = c^{3} + \ln c + \sqrt{c}$ ).

Aplicació del teorema

Ara, usant el teorema de Bolzano, podem definir un mètode per delimitar un zero d'una funció o una solució d'una equació:

Trobar un interval on per Bolzano hi hagi almenys una solució.
Dividir l'interval en $2$ subintervals (dividint per exemple per la meitat).
Avaluar la funció en el punt mig i depenent de si el valor trobat és positiu o negatiu, repetir el procés en el nou subinterval on es compleixin les hipòtesis de Bolzano ( $f (a) \cdot f (b) < 0$ ).

Aquest procés es pot fer tantes vegades com es vulgui, trobant així un interval molt petit on se sàpiga amb certesa que existeix un zero de la nostra funció.

Vegem un exemple d'aplicació de l'algorisme:

Exemple

Anem a buscar una solució (o acotar) de l'equació $x^{2} \sin x = \ln x$ .

Primerament considerem la funció $f (x) = x^{2} \sin x - \ln x$ . Trobar zeros d'aquesta funció és equivalent a trobar solucions de la nostra equació.

Primer buscarem un interval tancat on es compleixi el teorema de Bolzano, és a dir, contingui dos valors, $a$ i $b$ , on la funció $f (x)$ sigui positiva i negativa respectivament:

Provarem amb diferents valors: $\begin{array}{rcl} si x = 2 & ⟹ & f (2) = 2^{2} \sin 2 - \ln 2 = 2.94404 \dots > 0 \\ si x = 6 & ⟹ & f (6) = 6^{2} - \sin 6 - \ln 6 = - 11.8507 \dots < 0 \end{array}$ Per tant, en l'interval $[2, 6]$ hi ha un valor $c$ tal que $f (c) = 0$ .

Hem trobat una fita de la nostra solució de l'equació. Anem doncs a millorar-la.

Dividirem el nostre interval en dos subintervals: $\begin{array}{l} I_{1} = [2, 4] \\ I_{2} = [4, 6] \end{array}$ i anem a avaluar la funció en el punt mitjà: $f (4) = - 13.495 \dots < 0$

Com teníem $f (2) > 0$ , en l'interval $I_{1} = [2, 4]$ es complirà el teorema.

Ara anem a repetir el mateix procés fins que trobem una cota que ens convenci.

Dividim una altra vegada l'interval: $\begin{array}{l} I_{1} = [2, 3] \\ I_{2} = [3, 4] \\ f (3) = 0.171467 > 0 \end{array}$ I ens quedem amb l'interval $I_{2} = [3, 4]$ , ja que $f (3) > 0$ i $f (4) < 0$ .

Dividim una altra vegada l'interval: $\begin{array}{l} I_{1} = [3, 3.5] \\ I_{2} = [3.5, 4] \\ f (3.5) = - 5.54 \dots < 0 \end{array}$ I ens quedem amb l'interval $I_{1} = [3, 3.5]$ .

Dividim una altra vegada l'interval: $\begin{array}{l} I_{1} = [3, 3.25] \\ I_{2} = [3.25, 3.5] \\ f (3.25) = - 2.32 \dots < 0 \end{array}$ I ens quedem amb l'interval $I_{1} = [3, 3.25]$ .

Dividim per últim cop l'interval: $\begin{array}{l} I_{1} = [3, 3.125] \\ I_{2} = [3.125, 3.25] \\ f (3.125) = - 0.97 \dots < 0 \end{array}$ I ens quedem amb l'interval $I_{1} = [3, 3.125]$ .

En conculsió, de l'equació $x^{2} \sin x = \ln x$ n'existeix una solució compresa en l'interval $I_{1} = [3, 3.125]$ .

Per exemple, podriem aproximar la solució pel punt mitjà de l'interval: $x = 3.0625$ , i obtindríem les expressions: $f (3.0625) = - 0.378 \dots ≃ 0$ o per una altra part $x^{2} \sin x = \ln x \Rightarrow 0.741029 \dots ≃ 1.1119 \dots$

Recordem que fent més iteracions podríem trobar una aproximació de la solució més exacta.