Teorema de Bolzano

Sea una función $f (x)$ continua definida en un intervalo $[a, b]$ .

Entonces si se cumple que $f (a) \cdot f (b) < 0$ (es decir, $f (a) < 0$ y $f (b) > 0$ , o $f (a) > 0$ y $f (b) < 0$ ), existe al menos un punto $c$ perteneciente al intervalo $(a, b)$ tal que $f (c) = 0$ .

Este teorema puede resultar muy intuitivo ya que si tenemos una función continua que en $f (a)$ es negativa (por debajo del eje de las $x$ ) y en $f (b)$ es positiva (por encima del eje de las $x$ ), o viceversa, como la función es continua, tienen que estar conectados los puntos $f (a)$ y $f (b)$ , por lo que la gráfica no tendrá más remedio que cruzar el eje de las $x$ , con lo que existirá un valor $c$ en su intervalo de definición donde $f (c) = 0$ .

Veamos un ejemplo de la aplicación del teorema:

Ejemplo

Tomemos la función $f (x) = x - \ln^{2} x$ definida en el intervalo $[0.1, 0.5]$ y nos preguntamos si tiene algun cero dentro del intervalo de definición.

Observamos que: $\begin{array}{l} f (0.1) = - 5.201898111 < 0 \\ f (0.5) = 0.0195469860 > 0 \end{array}$

Como el intervalo es cerrado y la función continua, se cumplen las hipótesis del teorema de Bolzano y por consiguiente podemos aplicarlo.

El teorema nos dice que existe un cierto valor $c$ perteneciente al intervalo $[0.1, 0.5]$ tal que $f (c) = 0$ .

Por consiguiente se cumplirá que $0 = f (c) = c - \ln^{2} c$ , o $c = \ln^{2} c$ .

Fijémonos que hemos hallado la existencia de una solución en el intervalo $[0.1, 0.5]$ de la ecuación $x = \ln^{2} x$ la cual a priori no sabíamos solucionarla.

Ejemplo

Vamos a ver si existen soluciones de la ecuación $x^{3} + \ln x = - \sqrt{x}$ .

Para ello consideraremos la función $f (x) = x^{3} + \ln x + \sqrt{x}$ .

Si encontramos dos puntos $a$ y $b$ donde $f (a) \cdot f (b) < 0$ , significará que existirá cierto valor $c$ comprendido entre $a$ y $b$ tal que será solución de nuestra ecuación.

Si $a = 0.1 ⟹ f (0.1) = {0.1}^{3} + \ln 0.1 + \sqrt{0.1} = - 1.985357 < 0$

Si $b = 1 ⟹ f (1) = 1^{3} + \ln 1 + \sqrt{1} = 2 > 0$

Por lo tanto, en el intervalo $[0.1, 1]$ existe al menos un punto $c$ tal que $f (c) = 0$ y por lo tanto se cumpla nuestra ecuación (ya que $0 = f (c) = c^{3} + \ln c + \sqrt{c}$ ).

Aplicación del teorema

Ahora, usando el teorema de Bolzano, podemos definir un método para acotar un cero de una función o una solución de una ecuación:

Encontrar un intervalo donde por Bolzano exista al menos una solución.
Dividir el intervalo en $2$ subintervalos (dividiéndolo por ejemplo por la mitad).
Evaluar la función en el punto medio y dependiendo de si el valor encontrado es positivo o negativo, repetir el proceso en el nuevo subintervalo donde se cumplan las hipótesis de Bolzano ( $f (a) \cdot f (b) < 0$ ).

Este proceso se puede hacer tantas veces como uno quiera, encontrado así un intervalo muy pequeño donde se sepa con certeza que existe un cero de nuestra función.

Veamos un ejemplo de aplicación del algoritmo:

Ejemplo

Vamos a buscar una solución (o a acotarla) de la ecuación $x^{2} \sin x = \ln x$ .

Antes de todo consideraremos la función $f (x) = x^{2} \sin x - \ln x$ . Buscar ceros de esta función es equivalente a encontrar soluciones de nuestra ecuación.

Primero buscaremos un intervalo cerrado donde se cumpla el teorema de Bolzano, es decir, contenga dos valores, $a$ y $b$ , donde la función $f (x)$ sea positiva y negativa respectivamente:

Probaremos con diferentes valores: $\begin{array}{rcl} si x = 2 & ⟹ & f (2) = 2^{2} \sin 2 - \ln 2 = 2.94404 \dots > 0 \\ si x = 6 & ⟹ & f (6) = 6^{2} - \sin 6 - \ln 6 = - 11.8507 \dots < 0 \end{array}$ Por lo tanto, en el intervalo $[2, 6]$ existe un valor $c$ perteneciente al intervalo tal que $f (c) = 0$ .

Hemos encontrado una cota de nuestra solución de la ecuación. Vamos pues a mejorarla.

Dividiremos nuestro intervalo en dos subintervalos: $\begin{array}{l} I_{1} = [2, 4] \\ I_{2} = [4, 6] \end{array}$ y vamos a evaluar la función en el punto medio: $f (4) = - 13.495 \dots < 0$

Como teníamos $f (2) > 0$ , en el intervalo $I_{1} = [2, 4]$ se cumplirá el teorema.

Ahora vamos a repetir el mismo proceso hasta que encontremos una cota que nos convenza.

Dividimos otra vez el intervalo: $\begin{array}{l} I_{1} = [2, 3] \\ I_{2} = [3, 4] \\ f (3) = 0.171467 > 0 \end{array}$ I nos quedamos con el intervalo $I_{2} = [3, 4]$ , ya que $f (3) > 0$ y $f (4) < 0$ .

Dividimos otra vez el intervalo: $\begin{array}{l} I_{1} = [3, 3.5] \\ I_{2} = [3.5, 4] \\ f (3.5) = - 5.54 \dots < 0 \end{array}$ I nos quedamos con el intervalo $I_{1} = [3, 3.5]$ .

Dividimos otra vez el intervalo: $\begin{array}{l} I_{1} = [3, 3.25] \\ I_{2} = [3.25, 3.5] \\ f (3.25) = - 2.32 \dots < 0 \end{array}$ I nos quedamos con el intervalo $I_{1} = [3, 3.25]$ .

Dividimos ya por última vez el intervalo: $\begin{array}{l} I_{1} = [3, 3.125] \\ I_{2} = [3.125, 3.25] \\ f (3.125) = - 0.97 \dots < 0 \end{array}$ I nos quedamos con el intervalo $I_{1} = [3, 3.125]$ .

En conculsión, de la ecuación $x^{2} \sin x = \ln x$ existe una solución que está comprendida en el intervalo $I_{1} = [3, 3.125]$ .

Por ejemplo, podriamos aproximar la solución por el punto medio del intervalo: $x = 3.0625$ , y obtendriamos las expresiones: $f (3.0625) = - 0.378 \dots ≃ 0$ o por otra parte $x^{2} \sin x = \ln x \Rightarrow 0.741029 \dots ≃ 1.1119 \dots$

Recordamos que realizando más iteraciones podriamos encontrar una aproximación de la solución más exacta.