Continuidad lateral

De una manera menos estricta podemos definir la continuidad lateral, por la izquierda y por la derecha.

Una función es continua en el punto $x = a$ por la derecha si: $lim_{x \to a^{+}} f (x) = f (a)$ y decimos que es continua en el punto $x = a$ por la izquierda si: $lim_{x \to a^{-}} f (x) = f (a)$ Podemos ver a continuación un ejemplo de función continua por la izquierda pero no por la derecha en el punto $x = 1$

imagen

Veamos unos ejemplos para entender mejor el concepto:

Ejemplo

Tomemos la función $f (x) = {\begin{array}{rcl} x & si & x < 1 \\ - x & si & x \geq 1 \end{array}$ y estudiemos la continuidad lateral en $x = 1$ :

Continuidad lateral por la derecha: $lim_{x \to 1^{+}} f (x) = lim_{x \to 1} - x = - 1$ y la función en $x = 1$ vale $f (1) = - 1$ , por lo que la función es continua por la derecha.

Continuidad lateral por la izquierda: $lim_{x \to 1^{-}} f (x) = lim_{x \to 1} x = 1$ y la función en $x = 1$ vale $f (1) = - 1$ , por lo que la función no es continua por la izquierda.

Observamos que las funciones que son continuas en un punto, son continuas por la derecha y por la izquierda, o dicho al revés, que cuando la continuidad lateral coincide por la derecha y por la izquierda, decimos que la función es continua en el punto.