Comprobar si las siguientes funciones son continuas:
a) $$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{rcl} 2x+1 & \mbox{ if } & x<1 \\ 3x & \mbox{ if } & x \geq 1\end{array}\right.$$
b) $$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{rcl} \frac{1}{x} & \mbox{ if } & x\neq 0 \\ 0 & \mbox{ if } & x =0 \end{array}\right.$$
c) $$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{rcl} x^2+1 & \mbox{ if } & -1 < x < 1 \\ 3x & \mbox{ if } & x \geq 1 \mbox{ or } x \leq -1 \end{array}\right.$$
Desarrollo:
a) Las funciones que definen $$f(x)$$ son continuas, por lo que no tendremos problemas de continuidad. Puede ser que tengamos no continuidad si las dos funciones no conectan bien, así que miremos si la función es continua en el punto $$x=1$$. $$$\displaystyle \begin{array} {l} \lim_{x \to 1^+}f(x)=\lim_{x \to 1} 3x= 3 \\ \lim_{x \to 1^-}f(x)=\lim_{x \to 1} (2x+1)= 2+1= 3 \\ f(1)=3 \end{array}$$$ y como coinciden los límites laterales con el valor de la función, la función es continua.
b) La función $$\dfrac{1}{x}$$ es continua en su dominio. Nos falta comprobar que $$f(x)$$ sea continua en el cero: $$$\displaystyle \begin{array} {l} \lim_{x \to 0^+}f(x)=\lim_{x \to 0^+} \dfrac{1}{x}= +\infty \\ \lim_{x \to 0^-}f(x)=\lim_{x \to 0^-} \dfrac{1}{x}= -\infty \\ f(0)=0 \end{array}$$$ Por lo que al no coincidir los límites con la función en el cero, la función no es continua.
c) Las funciones que definen $$f(x)$$ son continuas así que no tendremos problemas de continuidad a no ser que no conecten bien. Tendremos que comprobar la continuidad en $$x=1$$ y $$x =-1$$.
Continuidad en $$x=1$$: $$$\displaystyle \begin{array} {l} \lim_{x \to 1^+}f(x)=\lim_{x \to 1} 2x= 2 \\ \lim_{x \to 1^-}f(x)=\lim_{x \to 1} (x^2+1)= 1+1= 2 \\ f(1)=2 \end{array}$$$ por lo que la función será continua en $$x=1$$.
Continuidad en $$x =-1$$: $$$\displaystyle \begin{array} {l} \lim_{x \to -1^+}f(x)=\lim_{x \to -1} (x^2+1)= (-1)^2+1=2 \\ \lim_{x \to -1^-}f(x)=\lim_{x \to -1} 2x= -2 \\ f(-1)=-2 \end{array}$$$ por lo que la función no será continua en $$x =-1$$, y por lo tanto no tendremos una función continua.
Solución:
a) Función continua
b) Función no continua
c) Función no continua