Comprova si les següents funcions són contínues:
a) $$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{rcl} 2x+1 & \mbox{ if } & x<1 \\ 3x & \mbox{ if } & x \geq 1\end{array}\right.$$
b) $$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{rcl} \frac{1}{x} & \mbox{ if } & x\neq 0 \\ 0 & \mbox{ if } & x =0 \end{array}\right.$$
c) $$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{rcl} x^2+1 & \mbox{ if } & -1 < x < 1 \\ 3x & \mbox{ if } & x \geq 1 \mbox{ or } x \leq -1 \end{array}\right.$$
Desenvolupament:
a) Les funcions que defineixen $$f(x)$$ són contínues, de manera que no tindrem problemes de continuïtat. Pot ser que tinguem no continuïtat si les dues funcions no connecten bé, així que mirem si la funció és contínua en el punt $$x=1$$. $$$\displaystyle \begin{array} {l} \lim_{x \to 1^+}f(x)=\lim_{x \to 1} 3x= 3 \\ \lim_{x \to 1^-}f(x)=\lim_{x \to 1} (2x+1)= 2+1= 3 \\ f(1)=3 \end{array}$$$ i com coincideixen els límits laterals amb el valor de la funció, la funció és contínua.
b) La funció $$\dfrac{1}{x}$$ és continua en el seu domini. Ens falta comprovar que $$f(x)$$ sigui contínua en el zero: $$$\displaystyle \begin{array} {l} \lim_{x \to 0^+}f(x)=\lim_{x \to 0^+} \dfrac{1}{x}= +\infty \\ \lim_{x \to 0^-}f(x)=\lim_{x \to 0^-} \dfrac{1}{x}= -\infty \\ f(0)=0 \end{array}$$$ Per tant al no coincidir els límits amb la funció en el zero, la funció no és contínua.
c) Les funcions que defineixen $$f(x)$$ són contínues així que no tindrem problemes de continuïtat a menys que no connectin bé. Haurem de comprovar la continuïtat en $$x=1$$ i $$x =-1$$.
Continuïtat en $$x=1$$: $$$\displaystyle \begin{array} {l} \lim_{x \to 1^+}f(x)=\lim_{x \to 1} 2x= 2 \\ \lim_{x \to 1^-}f(x)=\lim_{x \to 1} (x^2+1)= 1+1= 2 \\ f(1)=2 \end{array}$$$ de manera que la funció serà contínua en $$x=1$$.
Continuïtat en $$x =-1$$: $$$\displaystyle \begin{array} {l} \lim_{x \to -1^+}f(x)=\lim_{x \to -1} (x^2+1)= (-1)^2+1=2 \\ \lim_{x \to -1^-}f(x)=\lim_{x \to -1} 2x= -2 \\ f(-1)=-2 \end{array}$$$ pel que la funció no serà contínua en $$x =-1$$, i per tant no tindrem una funció contínua.
Solució:
a) Funció contínua
b) Funció no contínua
c) Funció no contínua