D'una manera menys estricta podem definir la continuïtat lateral, per l'esquerra i per la dreta.
Una funció és contínua en el punt $$x=a$$ per la dreta si: $$$\displaystyle \lim_{x \to a^+}f(x)=f(a)$$$ i diem que és contínua en el punt $$x=a$$ per l'esquerra si: $$$\displaystyle \lim_{x \to a^-}f(x)=f(a)$$$ Podem veure a continuació un exemple de funció contínua per l'esquerra però no per la dreta en el punt $$x=1$$
Vegem uns exemples per entendre millor el concepte:
Prenguem la funció $$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{rcl} x & \mbox{ si } & x < 1 \\ -x & \mbox{ si } & x \geq 1 \end{array}\right.$$ i estudiem la continuïtat lateral en $$x=1$$:
Continuïtat lateral per la dreta: $$$\displaystyle \lim_{x \to 1^+}f(x)=\lim_{x \to 1} -x= -1$$$ i la funció en $$x=1$$ val $$f(1)=-1$$, de manera que la funció és contínua per la dreta.
Continuïtat lateral per l'esquerra: $$$\displaystyle \lim_{x \to 1^-} f(x)=\lim_{x \to 1} x=1$$$ i la funció en $$x=1$$ val $$f(1)=-1$$, de manera que la funció no és contínua per l'esquerra.
Observem que les funcions que són contínues en un punt, són contínues per la dreta i per l'esquerra, o dit al revés, que quan la continuïtat lateral coincideix per la dreta i per l'esquerra, diem que la funció és contínua en el punt.