Sigui una funció $$f(x)$$ contínua definida en un interval $$[a,b]$$ i $$k$$ un nombre comprès entre els valors $$f(a)$$ i $$f(b)$$ (és a dir $$f(a) \leq k \leq f(b) $$).
Llavors existeix algun valor $$c$$ en l'interval $$[a,b]$$ tal que $$f(c)=k$$.
Aquesta propietat és molt semblant al teorema de Bolzano. De fet es pot deduir molt fàcilment a partir d'aquest:
Prenent la funció $$g(x)=f(x)-k$$ es veu clarament que es complirà el teorema de Bolzano:
Com $$f(a)\leq k \leq f(b) \Rightarrow f(a)-k \leq 0 \leq f(b)-k \Rightarrow g(a) \leq 0 \leq g(b)\Rightarrow $$
$$ \Rightarrow g(a) \cdot g(b) \leq 0$$, llavors per Bolzano existeix un valor $$c$$ en l'interval $$[a,b]$$ tal que $$g(c)=0$$.
Però resulta que $$0=g(c)=f(c)-k \Rightarrow f(c)=k$$ i queda demostrada la propietat de Darboux.
Vegem alguns exemples d'aplicació:
Anem a buscar l'existència d'una solució de l'equació $$(x-1)^3= 2$$.
Definim la funció $$f(x)=(x-1)^3$$.
Hem de buscar un interval tal que en la seva imatge estigui el valor $$2$$.
Prenguem, per exemple, l'interval $$[1,3]$$.
L'interval imatge és $$f([1,3])=[f(1),f(3)]=[0,8]$$ i clarament el $$2$$ pertany a aquest.
Per tant, podem assegurar l'existència d'almenys una solució de l'equació $$(x-1)^3=2$$ en l'interval $$[0,8]$$.
Buscarem si hi ha solucions de l'equació $$3=e^x+2x$$.
Definim la funció $$f(x)=e^x+2x$$.
Hem de buscar un interval tal que la imatge d'aquest contingui el valor $$3$$.
Per exemple, anem a avaluar la funció en: $$$\begin{array} {rcl} f(0) & = & 1 \\ f(1) & = & e+2 >3 \end{array}$$$
A més, la funció exponencial és creixent i la funció $$f (x) =2x$$, també,i per tant la nostra funció és creixent i conseqüentment la imatge de $$[0,1]$$ conté el $$3$$.
Per tant, fent servir la propietat, podem assegurar que hi ha almenys una solució de la nostra equació en l'interval $$[0,1]$$.