Propietat de Darboux (teorema del valor mitjà)

Sigui una funció $f (x)$ contínua definida en un interval $[a, b]$ i $k$ un nombre comprès entre els valors $f (a)$ i $f (b)$ (és a dir $f (a) \leq k \leq f (b)$ ).

Llavors existeix algun valor $c$ en l'interval $[a, b]$ tal que $f (c) = k$ .

imagen

Aquesta propietat és molt semblant al teorema de Bolzano. De fet es pot deduir molt fàcilment a partir d'aquest:

Prenent la funció $g (x) = f (x) - k$ es veu clarament que es complirà el teorema de Bolzano:

Com $f (a) \leq k \leq f (b) \Rightarrow f (a) - k \leq 0 \leq f (b) - k \Rightarrow g (a) \leq 0 \leq g (b) \Rightarrow$

$\Rightarrow g (a) \cdot g (b) \leq 0$ , llavors per Bolzano existeix un valor $c$ en l'interval $[a, b]$ tal que $g (c) = 0$ .

Però resulta que $0 = g (c) = f (c) - k \Rightarrow f (c) = k$ i queda demostrada la propietat de Darboux.

Vegem alguns exemples d'aplicació:

Exemple

Anem a buscar l'existència d'una solució de l'equació $(x - 1)^{3} = 2$ .

Definim la funció $f (x) = (x - 1)^{3}$ .

Hem de buscar un interval tal que en la seva imatge estigui el valor $2$ .

Prenguem, per exemple, l'interval $[1, 3]$ .

L'interval imatge és $f ([1, 3]) = [f (1), f (3)] = [0, 8]$ i clarament el $2$ pertany a aquest.

Per tant, podem assegurar l'existència d'almenys una solució de l'equació $(x - 1)^{3} = 2$ en l'interval $[0, 8]$ .

Exemple

Buscarem si hi ha solucions de l'equació $3 = e^{x} + 2 x$ .

Definim la funció $f (x) = e^{x} + 2 x$ .

Hem de buscar un interval tal que la imatge d'aquest contingui el valor $3$ .

Per exemple, anem a avaluar la funció en: $\begin{array}{rcl} f (0) & = & 1 \\ f (1) & = & e + 2 > 3 \end{array}$

A més, la funció exponencial és creixent i la funció $f (x) = 2 x$ , també,i per tant la nostra funció és creixent i conseqüentment la imatge de $[0, 1]$ conté el $3$ .

Per tant, fent servir la propietat, podem assegurar que hi ha almenys una solució de la nostra equació en l'interval $[0, 1]$ .