Exercicis de Propietat de Darboux (teorema del valor mitjà)

Digues si les següents equacions tenen alguna solució utilitzant la propietat de Darboux.

a) $x^{2} = 1$

b) $e^{x} = \ln x + 3$

c) $x^{4} + 2 x = 0$

Desenvolupament:

a) Definim la funció $f (x) = x^{2}$ .

Prenent l'interval $[0, 2]$ es compleix que $1$ pertany a l'interval imatge $f ([0, 2]) = [0, 4]$ , pel que existeix un punt $c$ on $f (c) = 1$ i per tant resol la nostra equació. (En el nostre cas $c = 1$ ).

b) Definim la funció $f (x) = e^{x} - \ln x$ .

Prenent l'interval $[1, 2]$ es compleix que $3$ pertany a l'interval imatge $f ([1, 2]) = [2.7182 \dots, 6.69 \dots]$ per la qual cosa hi ha un punt $c$ on $f (c) = 3$ i d'aquesta manera sabem amb certesa que hi ha algun valor solució de la nostra equació.

c) Definim la funció $f (x) = x^{4} + 2 x$ i repetim el procés:

Prenent l'interval $[- 1, 1]$ es compleix que $0$ pertany a l'interval imatge $f ([- 1, 1]) = [- 1, 3]$ , de manera que en l'interval $[- 1, 1]$ hi ha un punt que és solució de la nostra equació.

Solució:

a) Té almenys una solució en l'interval $[0, 2]$ .

b) Té almenys una solució en l'interval $[1, 2]$ .

c) Té almenys una solució en l'interval $[- 1, 1]$ .

Amagar desenvolupament i solució