Ejercicios de Propiedad de Darboux (también llamado teorema del valor intermedio)

Desarrollo:

a) Definimos la función $f(x)=x^2$.

Tomando el intervalo $[0,2]$ se cumple que $1$ pertenece al intervalo imagen $f([0,2])=[0,4]$, por lo que existe un punto $c$ donde $f(c)=1$ y por lo tanto resuelve nuestra ecuación. (en nuestro caso $c=1$).

b) Definimos la función $f(x)=e^x-\ln x$.

Tomando el intervalo $[1,2]$ se cumple que $3$ pertenece al intervalo imagen $f([1,2])=[2.7182\dots ,6.69\dots ]$ por lo que existe un punto $c$ donde $f(c)=3$ y de esta manera sabemos con certeza que existe algún valor solución de nuestra ecuación.

c) Definimos la función $f(x)=x^4+2x$ y repetimos el proceso:

Tomando el intervalo $[-1,1]$ se cumple que $0$ pertenece al intervalo imagen $f([-1,1])=[-1,3]$, por lo que en el intervalo $[-1,1]$ existe un punto que es solución de nuestra ecuación.

Solución:

a) Tiene al menos una solución en el intervalo $[0,2]$.

b) Tiene al menos una solución en el intervalo $[1,2]$.

c) Tiene al menos una solución en el intervalo $[-1,1]$.

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