Sea una función $$f(x)$$ continua definida en un intervalo $$[a,b]$$ y $$k$$ un número comprendido entre los valores $$f(a)$$ y $$f(b)$$ (es decir $$f(a) \leq k \leq f(b) $$).
Entonces existe algún valor $$c$$ en el intervalo $$[a,b]$$ tal que $$f(c)=k$$.
Esta propiedad es muy parecida al teorema de Bolzano. De hecho se puede deducir muy fácilmente a partir de éste:
Tomando la función $$g(x)=f(x)-k$$ se ve claramente que se cumplirá el teorema de Bolzano:
Como $$f(a)\leq k \leq f(b) \Rightarrow f(a)-k \leq 0 \leq f(b)-k \Rightarrow g(a) \leq 0 \leq g(b) \Rightarrow$$
$$\Rightarrow g(a) \cdot g(b) \leq 0$$, entonces por Bolzano existe un valor $$c$$ en el intervalo $$[a,b]$$ tal que $$g(c)=0$$.
Pero resulta que $$0=g(c)=f(c)-k \Rightarrow f(c)=k$$ y queda demostrada la propiedad de Darboux.
Veamos algunos ejemplos de aplicación:
Vamos a buscar la existencia de una solución de la ecuación $$(x-1)^3= 2$$.
Definimos la función $$f(x)=(x-1)^3$$.
Tenemos que buscar un intervalo tal que en su imagen esté el valor $$2$$.
Tomemos, por ejemplo, el intervalo $$[1,3]$$.
El intervalo imagen es $$f([1,3])=[f(1),f(3)]=[0,8]$$ y claramente el $$2$$ pertenece a éste.
Por lo tanto, podemos asegurar la existencia de al menos una solución de la ecuación $$(x-1)^3=2$$ en el intervalo $$[0,8]$$.
Buscaremos si existen soluciones de la ecuación $$3=e^x+2x$$.
Definimos la función $$f(x)=e^x+2x$$.
Tenemos que buscar un intervalo tal que la imagen de éste contenga el valor $$3$$.
Por ejemplo, vamos a evaluar la función en: $$$\begin{array} {rcl} f(0) & = & 1 \\ f(1) & = & e+2 >3 \end{array}$$$
Además, la función exponencial es creciente y la función $$f (x) =2x$$, también por lo tanto, nuestra función es creciente y consecuentemente la imagen de $$[0,1]$$ contiene el $$3$$.
Por lo tanto, usando la propiedad, podemos asegurar que existe al menos una solución de nuestra ecuación en el intervalo $$[0,1]$$.