Propiedad de Darboux (también llamado teorema del valor intermedio)

Sea una función $f (x)$ continua definida en un intervalo $[a, b]$ y $k$ un número comprendido entre los valores $f (a)$ y $f (b)$ (es decir $f (a) \leq k \leq f (b)$ ).

Entonces existe algún valor $c$ en el intervalo $[a, b]$ tal que $f (c) = k$ .

imagen

Esta propiedad es muy parecida al teorema de Bolzano. De hecho se puede deducir muy fácilmente a partir de éste:

Tomando la función $g (x) = f (x) - k$ se ve claramente que se cumplirá el teorema de Bolzano:

Como $f (a) \leq k \leq f (b) \Rightarrow f (a) - k \leq 0 \leq f (b) - k \Rightarrow g (a) \leq 0 \leq g (b) \Rightarrow$

$\Rightarrow g (a) \cdot g (b) \leq 0$ , entonces por Bolzano existe un valor $c$ en el intervalo $[a, b]$ tal que $g (c) = 0$ .

Pero resulta que $0 = g (c) = f (c) - k \Rightarrow f (c) = k$ y queda demostrada la propiedad de Darboux.

Veamos algunos ejemplos de aplicación:

Ejemplo

Vamos a buscar la existencia de una solución de la ecuación $(x - 1)^{3} = 2$ .

Definimos la función $f (x) = (x - 1)^{3}$ .

Tenemos que buscar un intervalo tal que en su imagen esté el valor $2$ .

Tomemos, por ejemplo, el intervalo $[1, 3]$ .

El intervalo imagen es $f ([1, 3]) = [f (1), f (3)] = [0, 8]$ y claramente el $2$ pertenece a éste.

Por lo tanto, podemos asegurar la existencia de al menos una solución de la ecuación $(x - 1)^{3} = 2$ en el intervalo $[0, 8]$ .

Ejemplo

Buscaremos si existen soluciones de la ecuación $3 = e^{x} + 2 x$ .

Definimos la función $f (x) = e^{x} + 2 x$ .

Tenemos que buscar un intervalo tal que la imagen de éste contenga el valor $3$ .

Por ejemplo, vamos a evaluar la función en: $\begin{array}{rcl} f (0) & = & 1 \\ f (1) & = & e + 2 > 3 \end{array}$

Además, la función exponencial es creciente y la función $f (x) = 2 x$ , también por lo tanto, nuestra función es creciente y consecuentemente la imagen de $[0, 1]$ contiene el $3$ .

Por lo tanto, usando la propiedad, podemos asegurar que existe al menos una solución de nuestra ecuación en el intervalo $[0, 1]$ .