Ejercicios de Teorema de Bolzano

Desarrollo:

a) Definimos la función $f(x)=x^2-1$. Vamos a buscar dos valores $a$ y $b$ tal que al evaluarlos por la función $f(x)$ obtengamos valores de signos opuestos:

Tomando

$x=0\Rightarrow f(0)=-1<0$

$x=2\Rightarrow f(2)=5>0$

por lo que en el intervalo $[0,2]$ existe un punto $c$ donde $f(c)=0$ y por lo tanto resuelve nuestra ecuación. (en este caso $c=1$ y $f(1)=0$).

b) Definimos la función $f(x)=e^x-\ln x-3$. Busquemos dos valores $a$ y $b$ tal que al evaluarlos por la función $f(x)$ obtengamos valores de signos opuestos:

Tomando

$x=1\Rightarrow f(1)=e-0-3=-0.2817<0$

$x=2\Rightarrow f(2)=3.69>0$

Así que en el intervalo $[1,2]$ existirá al menos un punto $c$ donde $f(c)=0$ y de esta manera sabemos con certeza que existe algún valor solución de nuestra ecuación.

c) Definimos la función $f(x)=x^4+2x$ y repetimos el proceso:

Tomando

$x=-1\Rightarrow f(-1)=(-1{)}^4+2\cdot (-1)=1-2=-1<0$

$x=1\Rightarrow f(1)=1+2=3>0$

por lo que en el intervalo $[-1,1]$ existe un punto que es solución de nuestra ecuación.

Solución:

a) Tiene al menos una solución en el intervalo $[0,2]$.

b) Tiene al menos una solución en el intervalo $[1,2]$.

c) Tiene al menos una solución en el intervalo $[-1,1]$.

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