Exercicis de Teorema de Bolzano

Desenvolupament:

a) Definim la funció $f(x)=x^2-1$. Anem a buscar dos valors $a$ i $b$ tal que en avaluar per la funció $f(x)$ obtinguem valors de signes oposats:

Prenent

$x=0\Rightarrow f(0)=-1<0$

$x=2\Rightarrow f(2)=5>0$

de manera que en l'interval $[0,2]$ existeix un punt $c$ on $f(c)=0$ i per tant resol la nostra equació. (en aquest cas $c=1$ i $f(1)=0$).

b) Definim la funció $f(x)=e^x-\ln x-3$. Busquem dos valors $a$ i $b$ tal que en avaluar per la funció $f(x)$ obtinguem valors de signes oposats:

Prenent

$x=1\Rightarrow f(1)=e-0-3=-0.2817<0$

$x=2\Rightarrow f(2)=3.69>0$

Així que en l'interval $[1,2]$ hi haurà almenys un punt $c$ on $f(c)=0$ i d'aquesta manera sabem amb certesa que hi ha algun valor solució de la nostra equació.

c) Definim la funció $f(x)=x^4+2x$ i repetim el procés:

Prenent

$x=-1\Rightarrow f(-1)=(-1{)}^4+2\cdot (-1)=1-2=-1<0$

$x=1\Rightarrow f(1)=1+2=3>0$

pel que en l'interval $[-1,1]$ hi ha un punt que és solució de la nostra equació.

Solució:

a) Té almenys una solució en l'interval $[0,2]$.

b) Té almenys una solució en l'interval $[1,2]$.

c) Té almenys una solució en l'interval $[-1,1]$.

Amagar desenvolupament i solució