Digues si les següents equacions tenen alguna solució utilitzant el teorema de Bolzano:
a) $$x^2=1$$
b) $$e^x= 3+\ln x$$
c) $$x^4+2x=0$$
Desenvolupament:
a) Definim la funció $$f(x)=x^2-1$$. Anem a buscar dos valors $$a$$ i $$b$$ tal que en avaluar per la funció $$f (x)$$ obtinguem valors de signes oposats:
Prenent
$$x=0 \Rightarrow f(0)=-1 < 0$$
$$x=2 \Rightarrow f(2)=5 > 0$$
de manera que en l'interval $$[0,2]$$ existeix un punt $$c$$ on $$f (c) = 0$$ i per tant resol la nostra equació. (en aquest cas $$c=1$$ i $$f (1) = 0$$).
b) Definim la funció $$f(x)=e^x-\ln x-3$$. Busquem dos valors $$a$$ i $$b$$ tal que en avaluar per la funció $$f(x)$$ obtinguem valors de signes oposats:
Prenent
$$x=1 \Rightarrow f(1)=e-0-3=-0.2817 < 0$$
$$x=2 \Rightarrow f(2)=3.69 > 0$$
Així que en l'interval $$[1,2]$$ hi haurà almenys un punt $$c$$ on $$f (c) = 0$$ i d'aquesta manera sabem amb certesa que hi ha algun valor solució de la nostra equació.
c) Definim la funció $$f(x)=x^4+2x$$ i repetim el procés:
Prenent
$$x=-1 \Rightarrow f(-1)=(-1)^4+2\cdot(-1)=1-2=-1 < 0$$
$$x=1 \Rightarrow f(1)=1+2=3 > 0$$
pel que en l'interval $$[-1,1]$$ hi ha un punt que és solució de la nostra equació.
Solució:
a) Té almenys una solució en l'interval $$[0,2]$$.
b) Té almenys una solució en l'interval $$[1,2]$$.
c) Té almenys una solució en l'interval $$[-1,1]$$.