Continuidad en un intervalo cerrado y teorema de Weierstrass

Dada una función $f (x)$ definida en un intervalo $[a, b]$ , (intervalo cerrado), decimos que es continua si la función es continua en todo el intervalo $(a, b)$ (intervalo abierto) y los límites laterales en los puntos $a, b$ correspondientes coinciden con el valor de la función.

Es decir: $lim_{x \to p^{\pm}} f (x) = f (p) para todo punto p del intervalo abierto (a, b) lim_{x \to a^{+}} f (x) = f (a) y lim_{x \to b^{-}} f (x) = f (b)$

Es lógico que sólo exijamos que los límites laterales coincidan con la función en los puntos $a, b$ por un lado ya que la función no está definida fuera del intervalo $[a, b]$ y no tendría sentido hablar del límite lateral por la izquierda de la función en el punto $a$ o su correspondiente límite en $b$ .

Ejemplo

Estudiemos la continuidad de la función $f (x) = x^{2} - 1$ donde $x$ pertenece al intervalo $[0, 1]$ .

Continuidad en $(0, 1)$ : $\begin{array}{l} lim_{x \to a^{+}} x^{2} - 1 = (a^{+})^{2} - 1 = a^{2} - 1 \\ lim_{x \to a^{-}} x^{2} - 1 = (a^{-})^{2} - 1 = a^{2} - 1 \\ f (a) = a^{2} - 1 \end{array}$ por lo que la función es continua en el intervalo abierto $(0, 1)$ .

Miremos ahora en los extremos: $\begin{array}{l} lim_{x \to 0^{+}} x^{2} - 1 = - 1 y f (0) = - 1 \\ lim_{x \to 1^{-}} x^{2} - 1 = 0 y f (1) = 0 \end{array}$ donde observamos que los límites y la función coinciden. Así que la función es continua en los extremos.

Por consiguiente, la función es continua en el intervalo $[0, 1]$ .

Teorema de Weierstrass

Sea una función $f (x)$ continua definida en un intervalo $[a, b]$ .

Entonces existen dos puntos $x_{m a x}$ y $x_{m i n}$ pertenecientes al intervalo $[a, b]$ donde la función $f (x)$ alcanza valores extremos absolutos (un máximo y un mínimo absoluto), por lo que se cumple que: $f (x_{m i n}) \leq f (x) \leq f (x_{m a x})$ para todo $x$ perteneciente al intervalo $[a, b]$ .

Este teorema puede parecer más una propiedad ya que es muy intuitivo el hecho de que si tienes una función continua definida en un intervalo cerrado siempre existirá un máximo y un mínimo absoluto de la función.

Observamos que si nuestra función $f (x)$ no presenta máximos relativos (o mínimos relativos) significará que encontraremos el máximo absoluto (o el mínimo absoluto) localizado en uno de los extremos del intervalo (o en los dos).

Si nuestra función sí tiene máximos o mínimos relativos, tendremos que comparar igualmente con el valor de nuestra función en los extremos del intervalo, ya que podría ser que éste valor fuese el máximo o mínimo absoluto.

Veamos algunos ejemplos:

Ejemplo

Sea la función $f (x) = x$ definida en el intervalo $[1, 4]$ .

La función $f (x) = x$ es una función estrictamente creciente, por lo que se alcanza el máximo en el punto mayor del intervalo, que es en $x = 4$ .

Por el mismo motivo, alcanza el mínimo en el punto mínimo del intervalo ( $x = 1$ ).

Ejemplo

Sea la función $f (x) = - x^{2} + 1$ Sea la función $[- 2, 1]$ .

Esta función tiene un máximo relativo en el punto $x = 0$ , y en su intervalo de definicion como no hay otro máximo, éste es el máximo absoluto.

Por otra parte no presenta ningún mínimo relativo, entonces encontraremos el mínimo absoluto en alguno de los extremos del intervalo.

En este caso $f (- 2) = - 1$ y $f (1) = 0$ , por lo que tenemos un mínimo absoluto en $x = - 2$ .

Observación: El teorema no es cierto si no tenemos un intervalo cerrado.

Veamos un ejemplo donde no se cumple.

Ejemplo

Sea la función $f (x) = x$ definida en el intervalo $[0, 1)$ .

La función $f (x) = x$ es una función estrictamente creciente, por lo que se alcanza el máximo en el punto mayor del intervalo.

Pero como resulta que nuestro intervalo está abierto por la parte superior, no tenemos un valor máximo de éste y por consiguiente, no existe un máximo absoluto.