De funcions n'hi ha de molts tipus i formes: funcions periòdiques, definides a trossos, creixents, decreixents, còncaves, convexes,... però entre totes elles, les podem classificar en dos conjunts més elementals: funcions contínues i funcions no contínues.
Vulgarment es diu que una funció és contínua si és possible dibuixar sense tenir necessitat d'aixecar el llapis del paper i per tant, dibuixar amb un sol traçat.
Matemàticament la definició és una mica més elaborada.
Considerem una funció $$f(x)$$. Direm que es continua en el punt $$x=a$$ si es compleix que els límits laterals de $$f(x)$$ a $$x=a$$ coincideixen amb el valor de la funció en $$x=a$$: $$$\displaystyle \lim_{x \to a^+} f(x)=\lim_{x \to a^-}f(x)= f(a)$$$ En la següent gràfica observem una funció contínua.
i podem veure que els límits laterals coincidiran amb el valor de la funció en el punt $$x1$$, $$f (x1) = y1$$.
Vegem alguns exemples:
Prenem la funció $$f(x) = e^{-x^2}$$ i mirem la continuïtat de la funció en el punt $$x=0$$: $$$\displaystyle \begin{array} {l} \lim_{x \to 0^+}f(x)=\lim_{x \to 0^+} e^{-x^2}= e^0= 1 \\ \lim_{x \to 0^-}f(x)=\lim_{x \to 0^-} e^{-x^2}= e^0= 1\end{array}$$$ i com que els límits coincideixen amb el valor de la funció en el zero: $$f(0)=e^0=1$$, aleshores la funció és contínua en el zero.
Per veure un exemple de funció no contínua en un punt, prenguem la funció $$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{rcl} x & \mbox{ si } & x \neq 2 \\ 0 & \mbox{ si } & x = 2\end{array}\right.$$ , i mirem la continuïtat en $$x$$=2. Llavors observem que: $$$\displaystyle \begin{array}{l} \lim_{x \to 2^+}f(x) = \lim_{x \to 2^+} x =2 \\ \lim_{x \to 2^-}f(x)=\lim_{x \to 2^-}x=2 \end{array} $$$ i si avaluem la funció en $$x=2$$ tenim que $$f(2)=0$$, de manera que la funció no és contínua en el punt $$x=2$$.