Troba dues solucions de l'equació diofàntica següent: $$x^2-y^2=21$$
Desenvolupament:
En aquest cas tenim que $$n=21$$. El que s'ha de fer, llavors, és trobar els divisors de $$21$$. Aquests són: $$1, 3, 7$$ i $$21$$.
A més, l'única forma de multiplicar-los per tal que el resultat sigui exactament $$21$$ és:
1) $$1\cdot21=21$$. Els dos són senars, per tant agafant $$a = 1$$ i $$b = 21$$ s'obté una solució mitjançant la fórmula $$\displaystyle \begin{array}{c} x=\frac{a+b}{2} & y=\frac{a-b}{2}\end{array}$$.
2) $$3\cdot7=21$$. Aquí també són els dos són senars, per tant obtindrem una altra solució fent $$a = 3$$ i $$b = 7$$ i substituint en la fórmula anterior.
Solució:
Les dues solucions són:
1) Si $$a = 1$$ i $$b = 21$$: $$$x=\dfrac{1+21}{2}=11 \ \ \ \ y=\dfrac{1-21}{2}=-10$$$ Es pot comprovar fàcilment que és solució $$$11^2-(-10)^2=121-100=21$$$
2) Si $$a = 3$$ i $$b = 7$$, llavors la solució és $$$x=\dfrac{3+7}{2}=5 \ \ \ \ y=\dfrac{3-7}{2}=-2$$$ Si es vol, es pot comprovar que efectivament és solució $$$5^2-(-2)^2=25-4=21$$$