Equacions diofàntiques quadràtiques

Les equacions diofàntiques quadràtiques són equacions del tipus: $a x^{2} + b x y + c y^{2} = d$ on $a$ , $b$ , $c$ i $d$ són enters, i es demana que les solucions $x$ i $y$ siguin també nombres enters.

No obstant això, aquí només es tractaran equacions diofàntiques quadràtiques del tipus: $x^{2} - y^{2} = n$ amb $n$ qualsevol nombre enter.

En aquest cas, tal com abans, pot passar que l'equació no tingui solució, o bé que tingui més d'una solució. No obstant això, la condició perquè aquesta equació diofàntica tingui solució és més senzilla: si $n$ es pot escriure com a producte de dos nombres que siguin o bé tots dos parells, o bé senars, llavors hi haurà solució.

Exemple

Si $n = 4$ tenim que $n = 2 \cdot 2$ , i tots dos són parells, per tant l'equació $x^{2} - y^{2} = 4$ té solució.

Exemple

Si $n = 15$ , tenim que $n = 3 \cdot 5$ , $3$ i $5$ són tots dos senars, per tant l'equació $x^{2} - y^{2} = 15$ té solució.

Exemple

Si $n = 6$ , tenim que els divisors de $6$ són $1, 2, 3$ i $6$ .

A més, per tal que el resultat de multiplicar-los doni $6$ s'ha de fer o bé $1 \cdot 6$ , o bé $2 \cdot 3$ , i no hi ha cap altra manera d'escriure $6$ com a producte de $2$ nombres enters (positius).

En cap dels 2 casos es compleix que tots dos nombres siguin parells o senars, així que l'equació $x^{2} - y^{2} = 6$ no té solució.

Suposem ara que $n = a \cdot b$ , amb $a$ i $b$ parells els dos o senars tots dos. Llavors una solució ve donada per: $\begin{matrix} x = \frac{a + b}{2} & y = \frac{a - b}{2} \end{matrix}$

Exemple

Per exemple, en el cas que s'ha vist abans de $n = 4 = 2 \cdot 2$ , tenim que $a = 2$ i $b = 2$ , per tant una solució és $\begin{matrix} x = \frac{2 + 2}{2} = 2 & y = \frac{2 - 2}{2} = 0 \end{matrix}$

Observem que en cas que hi hagi una solució, aquesta pot no ser única, ja que és possible que $n$ admeti una altra descomposició com a producte de dos nombres parells o imparells.

Per exemple, si $n = 16$ , tenim que $n = 2 \cdot 8$ (els 2 són parells) però també $n = 4 \cdot 4$ (i també els 2 són parells), i cadascuna d'aquestes dues representacions de $n$ dóna una solució diferent de l'equació diofàntica.