Ecuaciones diofánticas cuadráticas

Las ecuaciones diofánticas cuadráticas son ecuaciones del tipo: $a x^{2} + b x y + c y^{2} = d$ donde $a$ , $b$ , $c$ y $d$ son enteros, y se pide que las soluciones $x$ e $y$ sean números enteros.

No obstante, aquí sólo se van a tratar ecuaciones diofánticas cuadráticas del tipo: $x^{2} - y^{2} = n$ con $n$ cualquier número entero.

En este caso, tal y como antes, puede pasar que la ecuación no tenga solución, o bien que tenga más de una solución. No obstante, la condición para que esta ecuación diofántica tenga solución es más sencilla: Si $n$ se puede escribir como producto de dos números que sean o bien ambos pares, o bien impares, entonces habrá solución.

Ejemplo

Si $n = 4$ tenemos que $n = 2 \cdot 2$ , y ambos son pares, por lo tanto la ecuación $x^{2} - y^{2} = 4$ tiene solución.

Ejemplo

Si $n = 15$ , se tiene que $n = 3 \cdot 5$ , $3$ y $5$ son ambos impares, por lo tanto la ecuación $x^{2} - y^{2} = 15$ tiene solución.

Ejemplo

Si $n = 6$ , se tiene que los divisores de $6$ son $1, 2, 3$ y $6$ .

Además, para que el resultado de multiplicarlos de $6$ se tiene que hacer o bien $1 \cdot 6$ , o bien $2 \cdot 3$ , y no existe ninguna otra forma de escribir $6$ como producto de $2$ números enteros (positivos).

En ninguno de los 2 casos se cumple que ambos números sean pares o impares, así que la ecuación $x^{2} - y^{2} = 6$ no tiene solución.

Supongamos ahora que $n = a \cdot b$ , con $a$ y $b$ pares los dos o impares los dos. Entonces una solución viene dada por: $\begin{matrix} x = \frac{a + b}{2} & y = \frac{a - b}{2} \end{matrix}$

Ejemplo

Por ejemplo, en el caso que se ha visto antes de $n = 4 = 2 \cdot 2$ , se tiene que $a = 2$ y $b = 2$ , por lo tanto una solución es $\begin{matrix} x = \frac{2 + 2}{2} = 2 & y = \frac{2 - 2}{2} = 0 \end{matrix}$

Observemos que en caso que exista una solución, esta puede no ser única, ya que es posible que $n$ admita otra descomposición como producto de dos números pares o impares.

Por ejemplo, si $n = 16$ , se tiene que $n = 2 \cdot 8$ (los 2 son pares) pero también $n = 4 \cdot 4$ (y también los 2 son pares), y cada una de estas dos representaciones de $n$ da una solución diferente de la ecuación diofántica.