Exercicis de Equacions lineals d'ordre 2 homogenis a coeficients no constants

Resoldre l'equació 4t2x+x=0 sabent que una solució és x1(t)=tlnt

Veure desenvolupament i solució

Desenvolupament:

Es tracta d'una EDO de segon ordre a coeficients no constants homogènia. Com ja coneixem una solució, el mètode de reducció de l'ordre ens donarà una altra linealment independent, x2(t), de manera que obtindrem dues solucions linealment independents amb el que haurem resolt l'EDO ja que tota solució s'escriurà x(t)=C1x1(t)+C2x2(t)

Busquem la segona solució de la forma: x2(t)=x1(t)u(t).

Calculem:

x2=x1u

x2=x1u+x1u

x2=x1u+x1u+x1u+x1u=x1u+2x1u+x1u

Imposem que sigui solució:

4t2x2+x2=4t2(x1u+2x1u+x1u)+x1u= =u(4t2x1)+u(8t2x1)+u(4t2x1+x1)=0 Notem que l'últim terme és idènticament zero, ja que x1(t) és solució. Fent el canvi w(t)=u(t), obtenim una EDO lineal en w(t): w(4t2x1)+w(8t2x1)=0dwdt=w(8t2x1)4t2x1 dww=2x1x1dtdww=2x1x1dt ln|w(t)|=2ln|x1(t)|=ln(|x1(t)|2) w(t)=1x1(t)2=1t(ln(t))2 Calculem una primitiva qualsevol de W(t) per trobar u(t): u(t)=1t(ln(t))2dt=1ln(t) Finalment x2(t)=x1(t)u(t)=tln(t)1ln(t)=t Per tant tota solució s'escriu com: x(t)=C1x1(t)+C2x2(t)=C1(t)tln(t)+C2(t)t

Solució:

x(t)=C1(t)tln(t)+C2(t)t

Amagar desenvolupament i solució
Veure teoria