Resoldre l'equació $$4t^2x''+x=0$$ sabent que una solució és $$x_1(t)=\sqrt{t} \cdot \ln t$$
Desenvolupament:
Es tracta d'una EDO de segon ordre a coeficients no constants homogènia. Com ja coneixem una solució, el mètode de reducció de l'ordre ens donarà una altra linealment independent, $$x_2(t)$$, de manera que obtindrem dues solucions linealment independents amb el que haurem resolt l'EDO ja que tota solució s'escriurà $$$x(t)=C_1\cdot x_1(t)+C_2\cdot x_2(t)$$$
Busquem la segona solució de la forma: $$x_2(t)=x_1(t)\cdot u(t)$$.
Calculem:
$$x_2=x_1\cdot u$$
$$x_2'=x_1'\cdot u+x_1\cdot u'$$
$$x_2''=x_1''\cdot u+x_1'\cdot u'+x_1'\cdot u'+x_1\cdot u''=x_1''\cdot u+2x_1'\cdot u' + x_1 u''$$
Imposem que sigui solució:
$$$4t^2x_2''+x_2=4t^2(x_1''\cdot u +2x_1'\cdot u'+x_1 u'')+x_1\cdot u=$$$ $$$=u''(4t^2\cdot x_1)+u'(8t^2\cdot x_1')+u(4t^2\cdot x_1''+x_1)=0$$$ Notem que l'últim terme és idènticament zero, ja que $$x_1(t)$$ és solució. Fent el canvi $$w(t)=u'(t)$$, obtenim una EDO lineal en $$w(t)$$: $$$w'(4t^2\cdot x_1)+w(8t^2\cdot x_1')=0 \Rightarrow \dfrac{dw}{dt}=\dfrac{-w(8t^2\cdot x_1')}{4t^2\cdot x_1} \Rightarrow$$$ $$$ \Rightarrow \dfrac{dw}{w}=\dfrac{-2x_1'}{x_1}dt \Rightarrow \int\dfrac{dw}{w}=\int\dfrac{-2x_1'}{x_1}dt \Rightarrow$$$ $$$\Rightarrow \ln|w(t)|=-2\cdot\ln|x_1(t)|=\ln(|x_1(t)|^{-2}) \Rightarrow$$$ $$$\Rightarrow w(t)=\dfrac{1}{x_1(t)^2}=\dfrac{1}{t\cdot(\ln(t))^2}$$$ Calculem una primitiva qualsevol de $$W(t)$$ per trobar $$u(t)$$: $$$u(t)=\int\dfrac{1}{t\cdot(\ln(t))^2}dt=\dfrac{1}{\ln(t)}$$$ Finalment $$$x_2(t)=x_1(t)\cdot u(t)=\sqrt{t}\cdot\ln(t)\cdot\dfrac{1}{\ln(t)}=\sqrt{t}$$$ Per tant tota solució s'escriu com: $$$x(t)=C_1\cdot x_1(t)+C_2\cdot x_2(t)=C_1(t)\cdot\sqrt{t}\cdot\ln(t)+C_2(t)\cdot\sqrt{t}$$$
Solució:
$$x(t)=C_1(t)\cdot\sqrt{t}\cdot\ln(t)+C_2(t)\cdot\sqrt{t}$$