Equacions lineals d'ordre 2 homogenis a coeficients no constants

Veurem un mètode per resoldre EDO's de $2$ n ordre més generals, on ara permetrem coeficients no constants. El preu que hem de pagar és que hem de conèixer una solució.

El mètode que donarem, mètode de reducció de l'ordre, ens donarà la segona solució d'una EDO si ja en coneixem una.

Suposem que tenim una EDO: $a_{2} (x) y^{″} + a_{1} (x) y^{'} + a_{0} (x) y = 0$ i una solució $y_{1} (x)$ d'aquesta EDO.

Exemple

L'EDO $(x^{3} - 2 x^{2}) y^{″} - (x^{3} + 2 x^{2} - 6 x) y^{'} + (3 x^{2} - 6) y = 0$ de la qual coneixem una solució: $y_{1} (x) = x^{3}$ .

Llavors busquem una segona solució de la forma $y_{2} (x) = y_{1} (x) \cdot u (x)$ Aleshores: $\begin{array}{l} y = u \cdot y_{1} \\ y^{'} = y_{1}^{'} \cdot u + y_{1} \cdot u^{'} \\ y^{″} = y_{1}^{″} \cdot u + 2 y_{1}^{'} \cdot u^{'} + y \cdot u^{″} \end{array}$ Imposem que sigui solució: $\begin{array}{l} a_{2} (x) y^{″} + a_{1} (x) y^{'} + a_{0} (x) y = \\ = a_{2} (x) (y^{″} \cdot y + 2 y_{1}^{'} + y_{1} \cdot u^{″}) + a_{1} (x) (y^{'} \cdot u + y_{1} u^{'}) = \\ = u^{″} (a_{2} y_{1}) + u^{'} (2 a_{2} y_{1}^{'} + a_{1} y_{1}) + u (a_{2} y_{1}^{″} + a_{1} y_{1}^{'} + a_{0} y_{1}) \end{array}$ Tenint en compte que $y_{1} (x)$ és solució, l'últim terme és nul. Per tant: $u^{″} (a_{2} y_{1}) + u^{'} (2 a_{2} y_{1}^{'} + a_{1} y_{1}) = 0$ Aquesta és una EDO de segon ordre fictícia, ja que el terme sense derivar no apareix.

És a dir, si introduïm el canvi $w (x) = u^{'} (x)$ , tenim l'EDO lineal i homogènia d'ordre $1$ següent: $w^{'} (a_{2} y_{1}) + w (2 a_{2} y_{1}^{'} + a_{1} y_{1}) = 0$

Exemple

En el nostre exemple, substituint els corresponents valors dels coeficients, tenim: $\begin{array}{rcl} w^{'} (x^{3} (x^{3} - 2 x^{2})) + w (2 (x^{3} - 2 x^{2}) 3 x^{2} - (x^{3} + 2 x^{3} - 6 x) x^{3}) & = & 0 \\ w^{'} (x^{6} - 2 x^{5}) + w (6 x^{5} - 12 x^{4} - x^{6} - 2 x^{5} + 6 x^{4}) & = & 0 \\ w^{'} (x^{6} - 2 x^{5}) + w (- x^{6} + 4 x^{5} - 6 x^{4}) & = & 0 \\ w^{'} (x - 2) + w (x^{2} + 4 x - 6) & = & 0 \end{array}$ Resolem aquesta EDO i obtenim $w (x)$ . Buscant una primitiva qualsevol de $w (x)$ , obtenim $u (x)$ .

Finalment, tenim $y_{2} (x) = y_{1} (x) \cdot u (x)$ és la segona solució, que és linealment independent de la primera.

Finalment, en el nostre exemple, obtenim: $w (x) = \frac{e^{x} (x - 2)}{x^{3}}$ Calculant una primitiva qualsevol, $u (x) = \int \frac{e^{x} (x - 2)}{x^{3}} d x = \frac{e^{x}}{x^{2}}$ Així doncs la solució general és: $y (x) = c_{1} x^{3} + c_{2} x e^{x}$